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目录
I 考查目标......................................................错误！未定义书签。
II 考试形式和试卷结构 ................................错误！未定义书签。
III 考查内容...................................................错误！未定义书签。
IV. 题型示例及参考答案...............................错误！未定义书签。
2
全国硕士研究生入学统一考试
高等数学考试大纲
I 考查目标
目的是科学、公平、有效地测试考生是否具备攻读相关专业硕士所必须的基本素质、一
般能力和培养潜能，以利用选拔具有发展潜力的优秀人才入学，为国家的经济建设培养具有
较强分析与解决实际问题能力的高层次、应用型、复合型的材料成型专业人才。考试测试考
生掌握一元函数基本概念、基本性质、基本理论的扎实程度，考查考生能熟练运用这些概念
与理论分析解决现实生产中与函数有关数学问题的能力.
具体来说。要求考生：
掌握一元基本初等函数的定义、图像、导数公式、积分公式；会用极限、导数和积分工
具和方法来研究一元函数局部有界性、保号性、保不等式性和整体有界性、单调性、凸凹性、
最小值、最大值、区间上平均值等全局性质。同时也能所学导数和定积分知识来进行微分方
程建模和求解。
II 考试形式和试卷结构
一、试卷满分及考试时间
试卷满分为 150 分，考试时间 180 分钟。
二、答题方式
闭卷、笔试。允许使用计算器，但不得使用带有公式和文本存储功能的计算器。
三、试卷内容与题型结构
填空(6 个空 ，每空 5 分，共 30 分)
计算题(4 小题，每题 10 分， 共 40 分)
证明题(4 小题，每题 10 分， 共 40 分)
综合应用题(40 分)
假如每题分数有变化，变化范围亦不大。
III 考查内容
1. 集合的概念、运算、邻域的定义；函数的概念、图形、表示法；基本初等函数：幂函
数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数；反函数; 复合函数的概念; 初等函数; 双
曲函数和反双曲函数的概念; 函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性、函数极限（数列极
限）存在性、计算、无穷小阶的比较；函数连续性及闭区间连续函数性质。
2. 导数的定义、左右导数、导数的物理意义和几何意义；函数的可导性与连续性的关系；
导数的四则运算法则、反函数的导数、复合函数的求导法则；高阶导数的概念、高阶导数的
计算方法、莱布尼茨公式、隐函数求导法；对数求导法；参数方程表示的函数的导数；相关
变化率；微分的定义; 函数可微的条件；基本初等函数的微分公式与微分运算法则；微分的
几何意义、函数的线性化。
3. 罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；洛必达法则、泰勒公式
函数的单调性、曲线的凹凸性、函数的极值、函数图形的描绘；弧微分的概念、微分三角形、
曲率及其计算公式、曲率圆的概念；求近似实根二分法和切线法(牛顿法)。
3
4. 原函数的概念、不定积分的概念、不定积分的性质；基本积分表；直接积分法：第一
换元积分法(凑微分法)；常用凑微分公式；第二换元法；分部积分法；有理函数的积分；可
化为有理函数的积分：1．三角函数有理式的积分；2．简单无理函数的积分。
5. 定积分的概念、定积分的近似计算；定积分加法法则、数乘法则、不等式性质、定积
分中值定理、牛顿—莱布尼兹公式；积分上限的函数及其导数；定积分的换元法积分法和分
部积分法；无穷限的广义积分、无界函数的广义积分；无穷限广义积分的审敛法、无界函数
的广义积分审敛法、 函数定义及其性质。
6. 定积分的微元法、平面图形的面积、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体的体
积、平面曲线弧长的概念、平面曲线的弧长的计算、变力沿直线所作的功、水压力、引力。
7. 常微分方程的概念、方程的阶数、线性微分方程、非线性微分方程；微分方程的解（通
解、特解）; 微分方程的积分曲线；可分离变量的微分方程、分离变量法、齐次方程；一阶
线性微分方程、常数变易法、伯努利方程；可降阶的二阶微分方程；二阶常系数齐次线性微
分方程及其解法；二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉方程；常系数线性微分方程组。
IV. 题型示例及参考答案
一. 填空题（每题 5 分，共 30 分）
1. 函数 2
45
sin
)3lg(
)( xx
x
x
xf
的定义域为_____________.
2. 由方程 1ln yxy 所确定的函数 )(xfy 在点 )1,1(M 处的切线方程________.
3. 设函数
0,
0,
)2/arcsin(
1
)(
2
tan
xae
x
x
e
xf
x
x
在 0x 处连续，则 a _______.
4. 定积分
1
1
2
)sin|(| dxxxx =__________.
5.
0
3
dxex
x
_______.
6.
3
2
1
x
t
dte
dx
d
=____________.
二.计算题(每小题 10 分，共 40 分)
1. 求 .
cossec
)1ln()1ln(
lim
22
0 xx
xxxx
x
2. 设 )1(
)4(
1)1(
2
3
x
ex
xx
y
x
, 求 y .
3. 求由下列方程 )ln()(2 yxyxxy 所确定的函数 )(xyy 的二阶导数.
.
4. 已知 )( xf 的一个原函数是
2
x
e
, 求 dxxfx )( .
4
三.证明题(每题 10 分,共 40 分)
1. 证明: 函数 2
2 xxy 满足关系式 .01
3
yy
2. 证明方程
0
3
1
2
1
1
1
xxx
有分别包含于(1, 2), (2, 3) 内的两个实根.
3. 证明当 0x 时, .)1ln(
1
xx
x
x
4. 若 )(xf 在[0, 1]上连续, 证明
(1) ;)(cos)(sin
2/
0
2/
0
dxxfdxxf
(2) ,)(sin
2
)(sin
00
dxxfdxxxf 由此计算 .
cos1
sin
0
2
dx
x
xx
四. 综合应用题(每题 10 分,共 40 分)
1. 设工厂 A 到铁路线的垂直距离为 20km, 垂足为 B. 铁路线上距离 B 为 100km 处有一原料
供应站 C, 如图 3-5-4. 现在要在铁路 BC 中间某处 D 修建一个原料中转车站, 再由车站 D 向
工厂修一条公路. 如果已知每km 的铁路运费与公路运费之比为3:5, 那么, D应选在何处, 才
能使原料供应站 C 运货到工厂 A 所需运费最省?
2. 河水以 秒米 /8
3
的体流量流入水库中, 水库形状是长为 4000 米, 顶角为 120 的水槽, 问
水深 20 米时, 水面每小时上升几米?
水槽横截面图水槽横截面图
3. 在一个石油精炼厂，一个存储罐装 8000L 的汽油，其中包含 100g 的添加剂. 为冬季准备，
每升含 2g 添加剂的石油以 40L/min 的速度注入存储罐. 充分混合的溶液以 45L/min 的速度
泵出. 在混合过程开始后 20 分钟罐中的添加剂有多少？
4. 按照以下步骤作出函数 104
34
xxxf 的图形.
(1) 求 xf 和 xf ;
(2) 分别求 xf 和 xf 的零点;
(3) 确定函数的增减性、凹凸性、极值点和拐点;
5
(4) 作出函数 104
34
xxxf 的图形.
参考答案:
一、填空题
1. ).3,0(}0,1[}0,3,3|{ xxxxDf
2. )1(
2
1
1 xy ，即 .032 yx
3. 2
4.
2
1
.
5. 6.
6.
6
2
3
x
ex
二、计算题
1. 解 先用对数性质化简分子，得原式 ,
cossec
)1ln(
lim
42
0 xx
xx
x
因为当 0x 时，有 ,~)1ln(
4242
xxxx
xx cossec
x
x
cos
cos1
2
x
x
cos
sin
2
.~
2
x 所以原式 2
42
0
lim
x
xx
x
.1
2. 解 等式两边取对数得
,)4ln(2)1ln(
3
1
)1ln(ln xxxxy
上式两边对 x求导得
,1
4
2
)1(3
1
1
1'
xxxy
y
.1
4
2
)1(3
1
1
1
)4(
1)1(
' 2
3
xxxex
xx
y x
3. 解 ,
'1
)()ln()'1(2'
yx
y
yxyxyy
)ln(2
1
1'
yx
y
6
)ln(2
1
)''(''
yx
yy 2
)]ln(2[
])ln(2[
yx
yx
2
)]ln(2)[(
1
yxyx
y
(代入 y )
.
)]ln(2)[(
1
3
yxyx
4. 解 )()( xxdfdxxfx
,)()( dxxfxxf
根据题意 ,)(
2
Cedxxf
x
再注意到 ),()( xfdxxf
两边同时对 x求导，得 ,2)(
2
x
xexf
dxxfxxfdxxfx )()()( .2
22
2
Ceex
xx
三、证明题
1. 证 对 2
2 xxy 求导，得
)2(
22
1 2
2
xx
xx
y ,
22
1
2
xx
x
2
22
2
)2()1(2)1(
xx
xxxxxx
y
2
2
2
2
22
22
)1(2
xx
xx
x
xxx
22
22
2)2(
)1(2
xxxx
xxx
2/32
)2(
1
xx
.
1
3
y
代入原方程,得 .01
3
yy 证毕.
2. 证 当 ,3,2,1x 用 )3)(2)(1( xxx 乘方程两端，得
.0)2)(1()3)(1()3)(2( xxxxxx
设 ,)2)(1()3)(1()3)(2()( xxxxxxxf 则
,02)2()1()1( f ,01)1(1)2( f ,0212)3( f
由零点定理知， )( xf 在 )2,1( 与 )3,2( 内至少各有一个零点，即原方程在 )2,1( 与 )3,2( 内
至少各有一个实根.
3. 证 设 ),1ln()( xxf 则 )( xf 在 ],0[ x 上满足拉格朗日定理的条件. 故
)0)(()0()( xffxf ),0( x
,0)0( f ,
1
1
)(
x
xf
从而
1
)1ln(
x
x ),0( x
又由 x 111 ,1
1
1
1
1
x
,
11
x
x
x
x
7
即 .)1ln(
1
xx
x
x
4. 证 (1) 设 tx
2
0, xdtdx
2
,
2
xt ,0t
2
0
)(sin
dxxf
0
2
2
sin
dttf 2
0
)(cos
dttf ;)(cos2
0
dxxf
(2) 设 tx 0, xdtdx xt , ,0t
0
)(sin dxxxf
0
)][sin()(
dttft ,)(sin)(
0
dttft
00
)(sin)(sin dtttfdttf ,)(sin)(sin
00
dxxxfdxxf
.)(sin
2
)(sin
00
dxxfdxxxf
0 20 2
cos1
sin
2cos1
sin
dx
x
x
dx
x
xx
0 2
)(cos
cos1
1
2
xd
x
.
4442
)arctan(cos
2
2
0
x
四、综合应用题
1. 解 设 xBD (km), 则 xCD 100(km), .20
22
xAD
铁路每公里运费 ,3 k 公路每公里 ,5 k 记那里总运费为 y，则有如下函数关系式:
CDkADky 35
即 ).1000()100(34005
2
xxkxky
问题归结为： x取何值时目标函数 y最小.
求导得 ,3
400
5
2
x
x
ky 令 0y 得 15x (km).
由于 .26100)100(,380)15(,400)0( kykyky
从而当 15BD (km)时，总运费最省.
2. 解 设 )(tV 表示水库在时刻t水的体积, 则有 ,34000)(
2
htV
上式两边对 t求导得
dt
dh
h
dt
dV
38000
28800
dt
dV
米 3
/小时,
8
当 20h 米时, 104.0
dt
dh
米/小时（水面上升之速率）。
3. 解 令 y是在时刻 t罐中的添加剂的总量. 易知 100)0( y . 在时刻t罐中的溶液的
总量
tttV 5800045408000
因此，添加剂流出的速率为
t
ty
t
ty
tV
ty
58000
45
45
58000
溶液流出的速率
添加剂流入的速率 80402 ，得到微分方程
t
y
dt
dy
58000
45
80
即
80
58000
45
y
tdt
dy
于是，所求通解为
958000
45
58000
45
1600101600080
tCtCdteey
dt
t
dt
t
由 100)0( y 确定 C，得
01600001016000
9
C ， 8
1600
10
C ，
故初值问题的解是
9
8
1600
1600
10
1016000 tty ，
所以注入开始后 20 分钟时的添加剂总量是
58.1512160020
1600
10
201016000)20(
9
8
y g.
4. 解 (1) 23
124 xxxf ， xxxf 2412
2
.
(2) 由 0124
23
xxxf ，得到 0x 和 3x .
由 02412
2
xxxf ，得到 0x 和 2x .
(3) 列表确定函数升降区间、凹凸区间及极值和拐点：
x
0,
0
2,0
2
3,2
3
,3
xf
- 0 - 0 - 0 +
9
xf
+ 0 - 0 + 0 +
xf
拐点 拐点 极值点
(4) 算出 0x ， 2x ， 3x 处的函数值
100 f ， 62 f ， 173 f .
根据以上结论，用平滑曲线连接这些点，就可以描绘函
数的图形.
5
1 0
1 5
5
1 0
1 5
1 1 2 3 4O x
y
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