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1
目录
I 考查目标........................................................................................ 2
II 考试形式和试卷结构 ..................................................................2
III 考查内容..................................................................................... 2
IV. 题型示例及参考答案.................................................................3
2
全国硕士研究生入学统一考试
线性代数考试大纲
I 考查目标
《线性代数》考试是为我校招收相关专业硕士生而设置的具有选拔性质的考试科目。其
目的是科学、公平、有效地测试考生是否具备必须的基本素质、一般能力和培养潜能，以利
用选拔具有发展潜力的优秀人才入学，为国家的经济建设培养具有良好职业道德、法制观念
和国际视野、具有较强分析与解决实际问题能力的高层次、应用型、复合型的专业人才。考
试要求是测试考生是否掌握线性代数最核心的基本理论和基本方法。
具体来说。要求考生：
1． 掌握行列式、矩阵的概念及其运算的基本分方法。
2． 掌握线性方程组的求解方法。
3． 掌握向量的概念、向量组的线性相关性、秩的性质及其运算。
4． 掌握二次型的概念及其标准形。
5． 掌握向量空间中基变换、坐标变换的基本理论与方法。
II 考试形式和试卷结构
一、试卷满分及考试时间
试卷满分为 150 分，考试时间 180 分钟。
二、答题方式
答题方式为闭卷、笔试。
三、试卷内容与题型结构
单项选择题 5 题，每小题 3 分，共 15 分
填空题 5 题，每小题 3 分，共 15 分
计算与证明题 9 题，共 120 分
III 考查内容
1． 行列式的概念及其计算。
2． 矩阵的概念、矩阵的运算、矩阵的秩及其计算。
3． 向量的概念、向量组的线性相关性、向量组的秩。
4． 线性方程组的求解。
5． 二次型及其标准形的的概念及其性质。
6． 向量空间的概念，向量空间中基变换、坐标变换的概念及其性质。
IV. 题型示例及参考答案
3
一 填空与选择题（3*10=30 分）
1.设 A 为 n 阶方阵， 1n ，若 为实数，则有( )
A. |||| AA
n
B. |||| AA
C. |||||| AA
n
D. |||||| AA
2. A 与 B 是同阶方阵，当下列条件( )满足时，对任意正整数 n 成立 nnn
BAAB )(
A. A 与 B 都可逆 B. A 与 B 都对称
C. BAAB D. |||| BA
3．设 A 为三阶矩阵， a|| A ，则其伴随矩阵 *
A 的行列式 ||
*
A ( )
A. a B. 2
a
C. 3
a D. 4
a
4．若向量组 , , 线性无关，向量组 , , 线性相关，则（ ）
A. 必可由 , , 线性表示 B. 必不可由 , , 线性表示
C. 必可由 , , 线性表示 D. 必不可由 , , 线性表示
5． 如果向量组
c
b
a
321
,
0
1
1
,
0
0
1
线性无关，那么( )
A. a b c B. 0b c
C. 0c D. 0c
6．已知 4 阶矩阵 A 的 4 个特征值为 1， 2 ，3，4，则 || A __________
7．已知向量 1
＝(1, 2, 3)， 2
(3, 2, 1)，则 21
23
8．设
0 3 4
0 1 2
2 0 0
A
，则 A 的伴随矩阵 *
A 等于
9．线性方程组 0432 4321
xxxx 的基础解系含有________个解向量
10．设 1 2 3 1 2
{ ( , , ) | 2 0}V X x x x x x ，且 1 2 3
, ,x x x R ，则该向量空间是________
维向量空间
二（15 分）计算题
4
1.(7 分)
3 1 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3
D
2. (8 分)
1
1
a
D
a
，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0 。
三 (10 分)设 n
,,, 21
是一组 n 维向量，已知 n 维单位坐标向量组 n
,, 21
可被它
线性表出，证明 n
,,, 21
线性无关。
四 (15 分)求向量组 )0,1,1(),1,0,0(),1,1,1(),1,1,1( 4321
的秩及一个最大无关组，并把其余向量用此最大无关组线性表示。
五 (15分)已知 T
)1,1,1( ξ 是
2 1 2
5 3
1 2
A a
b
的一个特征向量，试确定参数 ,a b 。
六（10分） t 取何值时，二次型 323121
2
3
2
2
2
1
4225 xxxxxtxxxx 是正定的。
七 (15 分)求正交变换 X PY 化二次型
323121
2
3
2
2
2
1321 84444),,( xxxxxxxxxxxxf 为标准形。
八（10 分）在 4
P 中，求向量 )1,1,2,1( 在基
)1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1( 4321
下的坐标。
九 (15 分)设齐次线性方程组
0
0
0
321
321
321
xxx
xxx
xxx
有非零解，求 的值，并求通解。
十 (15 分 ) 在 4
P 中 ， 求 由 基 1 2 3 4
, , , 到 基 4321
,,, 的 过 渡 矩 阵 ，
)1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1( 4321
)1,1,1,0(),0,0,1,1(),1,3,1,2(),1,0,1,1( 4321
参考答案
一 选择与填空题（3 分*10=30 分）
1. A 2. C 3．B 4．C 5．D
5
6． 24 7． 3, 2, 7 8．
0 0 2
4 8 0
2 6 0
9. 3 10. 2
二、计算题(15 分)
1.
3 1 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3
D =48
2.
2
1
1
n n
a
D a a
a
三、(10 分)设 n
,,, 21
是一组 n 维向量，已知单位向量 n
,, 21
可被它线性表出，
证明 n
,,, 21
线性无关。
证明：略
四、(15 分)求向量组 )0,1,1(),1,0,0(),1,1,1(),1,1,1( 4321
的
秩及一个最大无关组，并把其余向量用此最大无关组线性表示。
解：设矩阵 ),,( 4321
TTTT
，A ，并对 A 施以初等行变换
0000
10
01
~
0000
1120
1011
~
1120
0000
1011
~
0111
1011
1011
2
1
2
1
2
1
2
1
A ，
由行最简形矩阵可知，向量组的一个极大无关组为 1 2
, ，
3 1 2
4 1 2
1 1
2 2
1 1
2 2
五、(15分)已知 T
)1,1,1( ξ 是
2 1 2
5 3
1 2
A a
b
的一个特征向量，试确定参数
,a b 。
解：设 ξ 对应的特征值为 ，则有 0)( ξAE ，即
6
.021
,035
,0212
b
a 解得 1,0,3 ba 。
六、（10 分）t 取何值时，二次型 323121
2
3
2
2
2
1
4225 xxxxxtxxxx 是正定的。
解：二次型系数矩阵为
521
21
11
t
t
A ，二次型正定，即 A 的各阶顺序主子式为正。
011
D ， 01
1
1 2
2
t
t
t
D ， 045
2
3
ttAD ，从而可得
0
5
4
- t
七、(15 分)求正交变换化二次型 323121
2
3
2
2
2
1321 84444),,( xxxxxxxxxxxxf 为
标准形。
解 f 的矩阵
442
442
221
A 。 0)9(
442
442
221
||
2
EA
得特征值为 对于 9,0 321 。
000
000
221
~
442
442
221
0 EA 。得对应的特征向量为
0
1
2
1p ，
1
0
2
2p ，正交化为
5
4
2
5
1
0
1
2
5
4
1
0
2
, 211 bpb ，
单位化为
53
5
53
4
53
2
,
0
5
1
5
2
21 ee 。
7
对于 93 ，得对应的特征值为
2
2
1
3p ，单位化为
3
2
3
2
3
1
3e 。
所以，二次型在正交变换
3
2
1
3
2
1
3
2
53
5
0
3
2
53
4
5
1
3
1
53
2
5
2
y
y
y
x
x
x
之下，标准形为 2
39 yf 。
八、（10 分）在 4
P 中，求向量 )1,1,2,1( 在基
)1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1( 4321
下的坐标。
解：设 基 4321
,,, 下的坐标为 ),,,( 4321
xxxx ，则有
44432211
xxxx ，从而
4
1
4
1
4
1
4
5
1000
0100
0010
0001
~
11111
11111
21111
11111
，坐标为 1115
4
1
九、(15 分)设齐次线性方程组
0
0
0
321
321
321
xxx
xxx
xxx
有非零解，求 ，并求通解。
解： 22
)1(111
111
11
11
A ，令 0|| A ，则 1 。
000
000
111
111
111
111
，所以通解为
23
12
211
cx
cx
ccx
十 、 (15 分 ) 在 4
P 中 ， 求 由 基 1 2 3 4
, , , 到 基 4321
,,, 的 过 渡 矩 阵 ，
)1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1( 4321
;
)1,1,1,0(),0,0,1,1(),1,3,1,2(),1,0,1,1( 4321
8
解：(1)令
1 1 1 1 1 2 1 0
1 1 1 1 1 1 1 1
,
1 1 1 1 0 3 0 1
1 1 1 1 1 1 0 1
A B
，
1
1 1 1 1
1 1 1 11
1 1 1 14
1 1 1 1
A
,
则从 4321
,,, 到 4321
,,, 的过渡矩阵 1
3 7 2 1
1 1 2 31
1 3 0 14
1 1 0 1
P A B B
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