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2017 年硕士研究生入学考试自命题科目考试大纲
科目代码：827 科目名称：实变函数
一. 考试要求
主要考查学生对集与点集的理解与掌握；对 Lebesgue
测度的理解与掌握；对可测函数的理解与掌握；对 Lebesgue
积分的理解与掌握；对 L
P
空间的理解与掌握；以及运用基本
理论和方法，分析解决问题的能力。
二、考试内容
1．集与点集
掌握集合的各种运算；理解映射的像、原像的概念及其
运算性质；了解集的对等、势的概念及其性质，会证明可数
集的基本问题；掌握一维开集、闭集的性质以及内点、极限
点、稠密性等若干概念；熟悉康脱集的构造及性质。
2．Lebesgue 测度
理解外测度的概念与性质，了解内测度的定义，掌握可
测集的定义；掌握可测集与测度的性质；了解不可测集的存
在性；掌握生成类的概念与性质，了解外测度扩张方法。
3．可测函数
理解可测函数的概念，掌握函数可测的证明方法；理解
“几乎处处”的概念；掌握几乎处处收敛、依测度收敛、近
一致收敛的特征、性质以及它们之间的关系；理解 Riesz 定
理与叶果洛夫定理，并掌握其证明方法；理解可测函数的构
造，掌握鲁津定理。
4．Lebesgue 积分
理解 Lebesgue 积分的定义，掌握 Lebesgue 积分的基本
性质；掌握证明积分基本问题的方法；掌握积分三大极限定
理及其基本用法；了解函数常义 R 可积的充要条件，理解 R
积分与 L 积分的关系，并会用来计算一类 R 积分值与 L 积分
值；理解单调函数、有界变差函数的性质、掌握全连续函数
的基本性质、特征及应用；了解 Fubini 定理及应用。
5. LP
空间
理解 L
P
空间及其上范数的定义，掌握 Hölder 不等式与
Minkowski 不等式；理解 L
P
空间中基本点列、强收敛点列的
概念及其相互关系，了解点列弱收敛的概念；理解完备性、
稠密性、可分性的概念，理解当 p1 时，L
P
空间是完备空
间，当 p1 时，L
P
空间是可分空间，掌握完备性与可分性
的用法。
三、考试形式
考试形式为闭卷、笔试，考试时间为 3 小时，满分 150
分。
题型包括：填空题、证明题、计算题等。
四、参考书目
郑维行，王声望 编．实变函数与泛函分析概要（第一册）.
第四版．北京：高等教育出版社，2010.
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