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证明极限不存在的定理篇一
证明极限不存在二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1[1]证明下列极限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.证明一般地,对于(1)选择当(x,y)沿直线y=kxy=kx趋近于(0,0)时,有lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(x,y)沿抛物线y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趋近于(0,0),则有l..
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是因为定义域d={(x,y)|x不等于y}吗，从哪儿入手呢，请高手指点
沿着两条直线 y=2x
y=-2x 趋于(0,0)时
极限分别为 -3 和 -1/3 不相等
极限存在的定义要求 延任何过(0,0)直线求极限时 极限都相等
所以极限不存在
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lim (x 和y)趋向于无穷大 (x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)
证明该极限不存在
lim(x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)
=lim(x^2+3y^2) / (x^2+3y^2) - 8y^2 / (x^2+3y^2)
=1-lim8 / [(x/y)^2+3]
因为不知道x、y的大校
所以lim (x 和y)趋向于无穷大 (x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)
极限不存在
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如图用定义证明极限不存在~谢谢!!
反证法
若存在实数l，使limsin(1/x)=l，
取ε=1/2，
在x=0点的任意小的邻域x内，总存在整数n，
①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈x，有sin[1/x1(n)]=1，
②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈x，有sin[1/x2(n)]=-1，
使|sin[1/x1(n)]-l|<1/3，
和|sin[1/x2(n)]-l|<1/3，
同时成立。
即|1-l|<1/2，|-1-l|<1/2，同时成立。
这与|1-l|+|-1-l|≥|(1-l)-(-1-l)|=2发生矛盾。
所以，使limsin(1/x)=l 成立的实数l不存在。
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