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中国科学院
2013 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题
科目名称：高等代数
考生须知：
1．本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
1．(15 分) 求下面 1n + 阶行列式的值
0 1 2 1
1 2 3
2
2 3 4 1
1 2 2 1
1n
n
n
n
n n n n
s s s s
s s s s x
D s s s s x
s s s s x
−
+
+ + −
=
其中， 1 2
k k k
k ns x x x= + + + 。
2．(15 分) 假设矩阵 A 与 B 没有公共的特征根， ( )f x 是矩阵 A 的特征多项
式，证明以下结论：
1) 矩阵 ( )f B 可逆；
2) 矩阵方程 AX XB= 只有零解。
3．(15 分)设 ( ), 1 ,i j i j n
A a
≤ ≤
= 是斜对称方阵，即 ( ), 1 1, , 1,2, ,i j n j n ia a i j n− + − += = ，
证明：若 A 可逆，则其逆阵也是斜对称方阵。
4．(20 分) 设二次曲面 2 2 2
2 2 2 4x ay z bxy xz yz+ + + + + =可以经由正交变换
x
y P
z
ξ
η
ζ
=
化成椭圆柱面方程 2 2
4 4η ζ+ =，试求 ,a b 和正交矩阵 P 。
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