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西安电子科技大学数学分析考研大纲
一、考试总体要求与考试要点
1．考试对象
考试对象为具有全国硕士研究生入学考试资格并报考西安电子科技
大学理学院数学科学系硕士研究生的考生。
2．考试总体要求
测试考生对数学分析的基本内容的理解、掌握和熟练程度。要求考生
熟悉数学分析的基本理论、掌握数学分析的基本方法，具有较强的抽
象思维能力、逻辑推理能力和运算能力。
3．考试内容和要点
(一) 实数集与函数
1、实数：实数的概念；实数的性质；绝对值不等式。
2、函数：函数的概念；函数的定义域和值域；复合函数；反函
数。
3、函数的几何特性：单调性；奇偶性；周期性。
要求：理解和掌握绝对值不等式的性质，会求解绝对值不等式；
掌握函数的概念和表示方法，会求函数的定义域和值域，会证明具体
函数的几何特性。
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(二) 数列极限
1、数列极限的概念（ N 定义）。
2、数列极限的性质：唯一性；有界性；保号性。
3、数列极限存在的条件：单调有界准则；两边夹法则。
要求：理解和掌握数列极限的概念，会使用 N 语言证明数列
的极限；掌握数列极限的基本性质、运算法则以及数列极限的存在条
件(单调有界原理和两边夹法则)，并能运用它们求数列极限；了解无
穷小量和无穷大量的概念性质和运算法则，会比较无穷小量与无穷大
量的阶。
(三) 函数极限
1、函数极限的概念（ 定义、 X 定义）；单侧极限的概念。
2、函数极限的性质：唯一性；局部有界性；局部保号性。
3、函数极限存在的条件：海涅归结原则。
4、两个重要极限。
要求：理解和掌握函数极限的概念，会使用 语言以及 X 语
言证明函数的极限；掌握函数极限的基本性质、运算法则，会使用海
涅归结原理证明函数极限不存在；掌握两个重要极限并能利用它们来
求极限；了解单侧极限的概念以及求法。
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(四) 函数连续
1、函数连续的概念：一点连续的定义；区间连续的定义；单侧
连续的定义；间断点的分类。
2、连续函数的性质：局部性质及运算；闭区间上连续函数的性
质（最值性、有界性、介值性、一致连续性）；复合函数的连续性；
反函数的连续性。
3、初等函数的连续性。
要求：理解与掌握函数连续性、一致连续性的定义以及它们的区
别和联系，会证明具体函数的连续以及一致连续性；理解与掌握函数
间断点的分类；能正确叙述并简单应用闭区间上连续函数的性质；了
解反函数、复合函数以及初等函数的连续性。
（五） 实数系六大基本定理及应用
1、实数系六大基本定理：确界存在定理；单调有界定理；闭区
间套定理；致密性定理；柯西收敛准则；有限覆盖定理。
2、闭区间上连续函数性质的证明：有界性定理的证明；最值性
定理的证明；介值性定理的证明；一致连续性定理的证明。
要求：理解和掌握上、下确界的定义，会求具体数集的上、下确
界；理解和掌握闭区间上连续函数性质及其证明；能正确叙述实数系
六大基本定理的内容及其证明思想，会使用开覆盖以及二分法构造区
间套进行简单证明。
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（六） 导数与微分
1、导数概念：导数的定义；单侧导数；导数的几何意义。
2、求导法则：初等函数的求导；反函数的求导；复合函数的求
导；隐函数的求导；参数方程的求导；导数的运算(四则运算)。
3、微分：微分的定义；微分的运算法则；微分的应用。
4、高阶导数与高阶微分。
要求：能熟练地运用导数的运算性质和求导法则求具体函数的
（高阶）导数和微分；理解和掌握可导与可微、可导与连续的概念及
其相互关系；掌握左、右导数的概念以及分段函数求导方法，了解导
函数的介值定理。
（七） 微分学基本定理
1、中值定理：罗尔中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定
理。
2、泰勒公式。
要求：理解和掌握中值定理的内容、证明及其应用；了解泰勒公
式及在近似计算中的应用，能够把某些函数按泰勒公式展开
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（八） 导数的应用
1、函数的单调性与极值。
2、函数凹凸性与拐点。
3、几种特殊类型的未定式极限与洛必达法则。
要求：理解和掌握函数的单调性和凹凸性，会使用这些性质求函
数的极值点以及拐点；能根据函数的单调性、凹凸性、拐点、渐近线
等进行作图；能熟练地运用洛必达法则求未定式的极限。
（九） 不定积分
1、不定积分概念。
2、换元积分法与分部积分法。
3、有理函数的积分。
要求：理解和掌握原函数和不定积分概念以及它们的关系；熟记
不定积分基本公式，掌握换元积分法、分部积分法，会求初等函数、
有理函数、三角函数的不定积分。
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（十） 定积分
1、定积分的概念；定积分的几何意义。
2、定积分存在的条件：可积的必要条件和充要条件；达布上和
与达布下和；可积函数类(连续函数，只有有限个间断点的有界函数，
单调函数)。
3、定积分的性质：四则运算；绝对值性质；区间可加性；不等
式性质；积分中值定理。
4、定积分的计算：变上限积分函数；牛顿-莱布尼兹公式；换元
公式；分部积分公式。
要求：理解和掌握定积分概念、可积的条件以及可积函数类；熟
练掌握和运用牛顿-莱布尼兹公式，换元积分法，分部积分法求定积
分。
（十一） 定积分的应用
1、定积分的几何应用：微元法；求平面图形的面积；求平面曲
线的弧长；求已知截面面积的立体或者旋转体的体积；求旋转曲面的
面积。
2、定积分的物理应用：求质心；求功；求液体压力。
要求：理解和掌握"微元法"；掌握定积分的几何应用；了解定积
分的物理应用。
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（十二） 数项级数
1、预备知识：上、下极限；无穷级数收敛、发散的概念；收敛
级数的基本性质；柯西收敛原理。
2、正项级数：比较判别法；达朗贝尔判别法；柯西判别法；积
分判别法。
3、任意项级数：绝对收敛与条件收敛的概念及其性质；交错级
数与莱布尼兹判别法；阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。
要求：理解和掌握正项级数的收敛判别法以及交错级数的莱布尼
兹判别法；掌握一般项级数的阿贝尔判别法与狄利克雷判别法；了解
上、下极限的概念和性质以及绝对收敛和条件收敛的概念和性质。
（十三） 反常积分
1、无穷限的反常积分：无穷限的反常积分的概念；无穷限的反
常积分的敛散性判别法。
2、无界函数的反常积分：无界函数的反常积分的概念；无界函
数的反常积分的敛散性判别法。
要求：理解和掌握反常积分的收敛、发散、绝对收敛、条件收敛
的概念；掌握反常积分的柯西收敛准则，会判断某些反常积分的敛散
性。
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（十四） 函数项级数
1、一致收敛的概念。
2、一致收敛的性质：连续性定理；可积性定理；可导性定理。
3、一致收敛的判别法；M-判别法；阿贝尔判别法；狄利克雷判
别法。
要求：理解和掌握一致收敛的概念、性质及其证明；能够熟练地
运用 M-判别法判断一些函数项级数的一致收敛性。
（十五） 幂级数
1、幂级数的概念以及幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域。
2、幂级数的性质。
3、函数展开成幂级数。
要求：理解和掌握幂级数的概念，会求幂级数的和函数以及它的
收敛半径、收敛区间、收敛域；掌握幂级数的性质以及两种将函数展
开成幂级数的方法，会把一些函数直接或者间接展开成幂级数。
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（十六） 傅里叶级数
1、傅里叶级数：三角函数系的正交性；傅里叶系数。
2、以2 为周期的函数的傅里叶级数。
3、以 2L 为周期的傅里叶级数。
4、收敛定理的证明。
5、傅里叶变换。
要求：理解和掌握三角函数系的正交性与傅里叶级数的概念；掌
握傅里叶级数收敛性判别法；能将一些函数展开成傅里叶级数；了解
收敛定理的证明以及傅里叶变换的概念和性质。
（十七） 多元函数极限与连续
1、平面点集与多元函数的概念。
2、二元函数的二重极限、二次极限。
3、二元函数的连续性。
要求：理解和掌握二元函数的二重极限、二次极限的概念以及它
们之间的关系，会计算一些简单的二元函数的二重极限和二次极限；
掌握平面点集、聚点的概念；了解平面点集的几个基本定理以及闭区
域上多元连续函数的性质。
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（十八） 多元函数的微分学
1、偏导数与全微分：偏导数与全微分的概念；可微与可偏导、
可微与连续、可偏导与连续的关系。
2、复合函数求偏导数以及隐函数求偏导数。
3、空间曲线的切线与法平面以及空间曲面的切平面和法线。
4、方向导数与梯度。
5、多元函数的泰勒公式。
6、极值和条件极值
要求：理解和掌握偏导数、全微分、方向导数、梯度的概念及其
计算；掌握多元函数可微、可偏导和连续之间的关系；会求空间曲线
的切线与法平面以及空间曲面的切平面和法线；会求函数的极值、最
值；了解多元泰勒公式。
（十九） 隐函数存在定理、函数相关
1、隐函数：隐函数存在定理；反函数存在定理；雅克比行列式。
2、函数相关。
要求：了解隐函数的概念及隐函数存在定理，会求隐函数的导数；
了解函数行列式的性质以及函数相关。
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（二十） 含参变量积分以及反常积分
1、含参变量积分：积分与极限交换次序；积分与求导交换次序；
两个个积分号交换次序。
2、含参变量反常积分：含参变量反常积分的一致收敛性；一致
收敛的判别法；欧拉积分、 函数、 函数。
要求：理解和掌握积分号下求导数的方法；掌握 函数、 函数
的性质及其相互关系；了解含参变量反常积分的一致收敛性以及一致
收敛的判别法。
（二十一） 重积分
1、重积分概念：重积分的概念；重积分的性质。
2、二重积分的计算：用直角坐标计算二重积分；用极坐标计算
二重积分；用一般变换计算二重积分。
3、三重积分计算：用直角坐标计算三重积分；用柱面坐标计算
三重积分；用球面坐标计算三重积分。
4、重积分应用：求物体的质心、转动惯量；求立体体积，曲面
的面积；求引力。
要求：理解和掌握二重、三重积分的各种积分方法和特点，会
选择最合适的方法进行积分；掌握并合理运用重积分的对称性简化计
算；了解柱面坐标和球面坐标积分元素的推导。
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（二十二） 曲线积分与曲面积分
1、第一类曲线积分：第一类曲线积分的概念、性质与计算；第
一类曲线积分的对称性。
2、第二类曲线积分：第二类曲线积分的概念、性质与计算；两
类曲线积分的联系。
3、第一类曲面积分：第一类曲面积分的概念、性质与计算；第
一类曲面积分的对称性。
4、第二类曲面积分：曲面的侧；第二类曲面积分的概念、性质
与计算；两类曲面积分的联系。
5、格林公式：曲线积分与路径的无关的四种等价叙述。
6、高斯公式。
7、斯托克斯公式。
8、场论初步：梯度；散度；旋度。
要求：理解和掌握两类曲线积分与曲面积分的概念、性质与计算，
会使用对称性简化第一类曲线以及曲面积分；熟练掌握格林公式、高
斯公式的证明并能利用它们求一些曲线积分和曲面积分；了解两类曲
线积分及曲面积分的区别和联系；了解斯托克斯公式和场论初步。
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二、考试形式与试卷结构
1. 考试时间
180 分钟。
2．试卷分值
150 分。
3．考试方式
闭卷考试。
4．题型结构：
类型包括：选择题、填空题、计算题、证明题。
三、推荐教材参考书目
【1】 欧阳光中等主编 《数学分析》（第三版）高等教育出版社
【2】 华东师范大学数学系主编 《数学分析》（第三版）高等教育
出版社
【3】 陈纪修等主编《数学分析》（第二版）高等教育出版社
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