2015年湖南师范大学＿高等数学考研大纲

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湖南师范大学硕士研究生入学考试自命题考试大纲
考试科目代码：[] 考试科目名称：高等数学
一、试卷结构
1) 试卷成绩及考试时间
本试卷满分为 100 分，考试时间为 180 分钟。
2)答题方式：闭卷、笔试
3)题型结构
a: 简答题，约 20 分
b: 解答题(包括证明题)，约 80 分
二、考试内容与考试要求
1、函数、极限、连续
考试内容
函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、
反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关
系的建立
数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量
和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则
运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限:
0
sin
lim 1
x
x
x

1
l i m 1
x
x
e
x 
 
  
 
函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续
函数的性质
考试要求
（1）理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.
（2）了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．
（3）理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．
（4）掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.
（5）理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与
左、右极限之间的关系．
（6）掌握极限的性质及四则运算法则.
（7）掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极
限求极限的方法．
（8）理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价
无穷小量求极限．
（9）理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类
型．
（10）了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性
质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．
2、一元函数微分学
考试内容
导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性
之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的
导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导
数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则函数单
调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘
函数的最大值与最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径
考试要求
（1）理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意
义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述
一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．
（2）掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数
的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微
分．
（3）了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．
（4）会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反
函数的导数.
（5）理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒
(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理．
（6）掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．
（7）理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的
方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用．
（8）会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间( , )a b 内，设函数 ( )f x 具
有二阶导数。当 ( ) 0f x  时， ( )f x 的图形是凹的；当 ( ) 0f x  时， ( )f x 的图形
是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．
（9）了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．
3、一元函数积分学
考试内容
原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分
的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱布尼
茨（Newton-Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有
理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分反常（广义）积分定积分
的应用
考试要求
（1）理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念．
（2）掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中
值定理，掌握换元积分法与分部积分法．
（3）会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．
（4）理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式．
（5）了解反常积分的概念，会计算反常积分．
（6）掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平
面曲线的弧长、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积等）及函数的平
均值．
4、向量代数和空间解析几何
考试内容
向量的概念向量的线性运算向量的数量积和向量积向量的混合积
两向量垂直、平行的条件两向量的夹角向量的坐标表达式及其运算单位向
量方向数与方向余弦曲面方程和空间曲线方程的概念平面方程直线方
程平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件点到
平面和点到直线的距离球面柱面旋转曲面常用的二次曲面方程及其图
形空间曲线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投影曲线方程
考试要求
（1）理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示.
（2）掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个
向量垂直、平行的条件.
（3）理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标
表达式进行向量运算的方法.
（4）掌握平面方程和直线方程及其求法.
（5）会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平
面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题.
（6）会求点到直线以及点到平面的距离.
（7）了解曲面方程和空间曲线方程的概念.
（8）了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方
程.
（9）了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投
影，并会求该投影曲线的方程.
5、多元函数微分学
考试内容
多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有
界闭区域上多元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分全微分存在的
必要条件和充分条件多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数方向导数
和梯度空间曲线的切线和法平面曲面的切平面和法线多元函数的极值和
条件极值多元函数的最大值、最小值及其简单应用
考试要求
（1）理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.
（2）了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质.
（3）理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在
的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性.
（4）理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法.
（5）掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.
（6）了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数.
（7）了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它
们的方程.
（8）理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要
条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日
乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的
应用问题.
6、多元函数积分学
考试内容
二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用两类曲线积分的概念、性
质及计算两类曲线积分的关系格林（Green）公式平面曲线积分与路径无
关的条件
考试要求
（1）理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分
的中值定理.
（2）掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直
角坐标、柱面坐标、球面坐标）.
（3）理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分
的关系.
（4）掌握计算两类曲线积分的方法.
（5）掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件.
7、无穷级数
考试内容
常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质
与收敛的必要条件几何级数与 p 级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法
交错级数与莱布尼茨定理任意项级数的绝对收敛与条件收敛函数项级数的
收敛域与和函数的概念幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域
幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求
法初等函数的幂级数展开式函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数狄
利克雷（Dirichlet）定理正弦级数和余弦级数
考试要求
（1）理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基
本性质及收敛的必要条件.
（2）掌握几何级数与 p
级数的收敛与发散的条件.
（3）掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法.
（4）掌握交错级数的莱布尼茨判别法.
（5）了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关
系.
（6）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念.
（7）理解幂级数收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及
收敛域的求法.
（8）了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导
和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项
级数的和.
（9）了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件.
（10）掌握
x
e ，sin x ，cos x ，ln(1 )x
及(1 )x


的麦克劳林（Maclaurin）展开
式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数.
（11）了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在[ , ]l l
上的
函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0, ]l
上的函数展开为正弦级数与余弦级数，
会写出傅里叶级数的和函数的表达式.
8、常微分方程
考试内容
常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线
性微分方程伯努利（Bernoulli）方程全微分方程可用简单的变量代换求
解的某些微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结
构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分
方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程微分方程的简单应用
考试要求
（1）了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.
（2）掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法．
（3）会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换
解某些微分方程．
（4）会用降阶法解下列形式的微分方程：
( )
( ), ( , )
n
y f x y f x y  
和 ( , )y f y y  ．
（5）理解线性微分方程解的性质及解的结构．
（6）掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常
系数齐次线性微分方程.
（7）会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和
与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．
（8）会用微分方程解决一些简单的应用问题．
三、参考书目
[1] 同济大学数学系编. 高等数学（第六版）. 高等教育出版社, 2007
[2] 湖南师范大学编高等数学湖南师范大学出版社，2007.

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