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空军工程大学 2012 年博士研究生入学试题
考试科目： 矩阵论与数理统计 （A卷） 科目代码 2002
说明：答题时必须答在配发的空白答题纸上，答题可不抄题，但必须写清题
号，写在试题上不给分; 考生不得在试题及试卷上做任何其它标记，否则试
卷作废，试题必须同试卷一起交回。
1、（8 分）设 ,A B 为n 阶 Hermite 矩阵，且B 正定，证明：广义特征值问
题 Ax Bx 的对应于不同广义特征值的广义特征向量按B 正交。
2、（16 分）设从均值为 ，方差为
2
0 的总体中分别抽查容量为 1 2
,n n 的
两独立样本。 1X 和 2X 分别是两样本的均值。
试证明：对于任意常数 , ( 1),a b a b 21
Y a X bX
都是 的无偏估
计，并确定常数 ,a b 使 ( )D Y 达到最小。
3、（12 分）设 n n
A C
，证明：
Neumann 级数
0
k
k
A
收敛的充要条件是 ( ) 1A ，且其和为
1
( )I A
。
4、（12 分）设 3
R 中的向量为 1 2 3
( , , ) ，线性变换为
2 3 1 2 3 1 2 3
( 2 2 , 2 3 , 2 3 )T
求 3
R 的一个基，使得T 在该基下的矩阵为对角矩阵。
5、（12 分）研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率。设两者都服从正态分
布，并且已知燃烧率的标准差均近似地为0.05 /cm s ，取样本容量为
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