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科目名称：量子力学 第 1 页，共 2 页
中国科学院
2013 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题
科目名称：量子力学
考生须知：
1．本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、（共 30 分）质量为 µ 的粒子在一个无限深球方势阱
0,
( )
,
r a
V r
r a
≤
=
∞ >
中运动。
(1)写出径向波函数 ( )lR r 满足的方程（已知：
2 2
2
2 2 2
ˆ1 ∂
∇= −
∂
l
r
r r r
）。
(2)求其中 0l = 的归一化能量本征函数和能量本征值。
二、（共 30 分）考虑一质量为 m 的自由粒子的一维运动。设初始 )0( =t 时刻波函
数为
241 2
0)()0,( xxik
ex α
π
α
ψ −
= （ α、0k 为实常数； 0,
2
>=
∫
∞
∞−
−
a
a
edx ax π
）。
(1)求 0>t 时刻动量表象波函数 ),(
~
tkΨ 及粒子动量几率分布 ),( tkΠ 。
(2)求 0>t 时刻波函数 ),( txΨ 及粒子位置几率分布 ),( txΡ 。
(3)简述粒子动量几率分布 ),( tkΠ 及位置几率分布 ),( txΡ 随时间演化的特性。
三、（共 30 分）一自旋为 1/2 的粒子的归一化自旋态为 λ 。设自旋态 λ 下测量
自旋角动量 ˆzs 得到
2
的几率是 9/25，测量 ˆxs 得到
2
的几率是 1/2。
(1)求自旋态 λ 。
(2)求该自旋态下自旋角动量 ˆys 的平均值。
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