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南京信息工程大学博士研究生招生入学考试
《数理方程》考试大纲
考试科目代码：3017
考试科目名称：数理方程
一、绪论
1．理解和掌握偏微分方程的基本概念；
2．了解三类典型方程的导出；
3．理解偏微分方程定解问题的提法和适定性问题；
4．理解和掌握线性定解问题的叠加原理；
5．理解和掌握二阶线性偏微分方程的分类和化简。
二、波动方程的初值问题与行波法
1．理解和掌握一维波动方程的初值问题解的 D’Alembert 公式，了解其物理意义；
2．理解和掌握三维波动方程的初值问题解的 Poisson 公式，了解其物理意义；
3．理解二维波动方程的初值问题和降维法；
4．了解依赖区域、决定区域、影响区域和特征维。
三、分离变量法
1．理解和掌握齐次方程和齐次边界条件的定解问题；
2．理解和掌握非齐次方程的定解问题；
3．理解和掌握非齐次边界条件的处理；
4．了解 Sturm-Loiuville 问题。
四、调和方程与格林（Green）函数法
1．理解 Laplance 方程定解问题的提法；
2．理解和掌握 Green 公式和应用；
3．理解 Green 函数的性质；
4．理解和掌握一些特殊区域上的 Green 函数和 Dirichlet 问题的解法。
五、积分变换法
1．理解傅里叶积分和傅里叶变换，掌握一些基本函数的傅里叶变换；
2．理解和掌握傅里叶变换的性质；
3．理解和掌握运用傅里叶变换来求解定解问题；
4．理解拉普拉斯变换与性质；
5．理解和掌握运用拉普拉斯变换求解定解问题。
六、极值原理和应用
1．理解和掌握热传导方程的极值原理，能够应用热传导方程的极值原理来证明定解问
题解的适定性；
2．理解和掌握拉普拉斯方程的极值原理，能够应用拉普拉斯方程的极值原理来证明定
解问题解的适定性；
七、能量积分方法和应用
1．理解和掌握热传导方程和调和方程中的能量方法；
2．理解和掌握双曲方程中的能量方法；
3. 运用能量方法探讨初值问题解的唯一性和稳定性。
有关说明与实施要求
1、考试目标的能力层次的表述
本课程对各考核点的能力要求一般分为三个层次用相关词语描述：
较低要求——了解；
一般要求——理解、熟悉、会；
较高要求——掌握、应用。
一般来说，对概念、原理、理论知识等，可用“了解”、“理解”、“掌握”等词表述；
对计算方法、应用方面，可用“会”、“应用”、“掌握”等词。
2、命题考试的若干规定
(1)本课程的命题考试是根据本大纲规定的考试内容来确定的，根据本大纲规定的各种
比例(每种比例规定可有 3 分以内的浮动幅度，来组配试卷，适当掌握试题的内容、覆
盖面、能力层次和难易度)。
(2)各章考题所占分数大致如下：
第一章 15％
第二章 15％
第三章 15％
第四章 15％
第五章 15％
第六章 10％
第七章 15％
(3)其难易度分为易、较易、较难、难四级，每份试卷中四种难易度，试题分数比例一
般为 2：3：3：2。
(4)试卷中对不同能力层次要求的试题所占的比例大致是：“了解(知识”占 15%，“理解(熟
悉、能、会)”占 40%，“掌握(应用)”占 45%。
(5)试题主要题型为解答题和证明题等多种题型。
(6)考试方式为闭卷笔试。考试时间为 180 分钟，试题主要测验考生对本学科的基础理
论、基本知识和基本技能掌握的程度，以及运用所学理论分析、解决问题的能力。试题
要有一定的区分度，难易程度要适当。一般应使本学科、专业本科毕业的优秀考生能取
得及格以上成绩。
(7)题型举例
●解答题
求解下列定解问题;
2
, 0
( , 0) sin , ( , 0)
tt xx
t
u a u x t
u x x u x x x
● 证明题
证明齐次化原理,即设 1
( , )f x t C ,如果 ( , , )h h x t 是初值问题
2 2
2
2 2
,
| 0, | ( , )t t
h h
a x t
t x
h
h f x x
t
的解,那么由积分
0
( , ) ( , , )
t
w x t h x t d
所定义的函数是下列问题
2 2
2
2 2
( , ) , 0
( ,0) ( ,0) 0t
w w
a f x t x t
t x
w x w x x
的解.
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