高一数学必修二知识点归纳总结 高一数学必修一指数知识点(六篇)

高一数学必修二知识点归纳总结 高一数学必修一指数知识点篇一

棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。

棱柱的性质

(1)侧棱都相等，侧面是平行四边形

(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形

(3)过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是平行四边形

2、棱锥

棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥

棱锥的性质：

(1)侧棱交于一点。侧面都是三角形

(2)平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方

3、正棱锥

正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

正棱锥的性质：

(1)各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。

(3)多个特殊的直角三角形

a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥，由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。

b、四面体中有三对异面直线，若有两对互相垂直，则可得第三对也互相垂直。且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。

高一数学必修二知识点归纳总结 高一数学必修一指数知识点篇二

一、立体几何常用公式

s（圆柱全面积）=2πr（r+l）；

v（圆柱体积）=sh；

s（圆锥全面积）=πr（r+l）；

v（圆锥体积）=1/3sh；

s（圆台全面积）=π（r^2+r^2+rl+rl）；

v（圆台体积）=1/3[s+s+√（s+s）]h；

s（球面积）=4πr^2；

v（球体积）=4/3πr^3。

二、立体几何常用定理

（1）用一个平面去截一个球，截面是圆面。

（2）球心和截面圆心的连线垂直于截面。

（3）球心到截面的距离d与球的半径r及截面半径r有下面关系：r=√（r^2—d^2）。

（4）球面被经过球心的平面载得的圆叫做大圆，被不经过球心的载面截得的圆叫做小圆。

（5）在球面上两点之间连线的最短长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点间的球面距离。

一、点、线、面概念与符号

平面α、β、γ，直线a、b、c，点a、b、c；

a∈a——点a在直线a上或直线a经过点；

aα——直线a在平面α内；

α∩β=a——平面α、β的交线是a；

α∥β——平面α、β平行；

β⊥γ——平面β与平面γ垂直。

二、点、线、面常用定理

1、异面直线判断定理

过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线。

2、线与线平行的判定定理

（1）平行于同一直线的两条直线平行；

（2）垂直于同一平面的两条直线平行；

（3）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；

（4）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；

（5）如果一条直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个平面的交线。

3、线与线垂直的判定

若一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内所有直线。

4、线与面平行的判定

（1）平面外一条直线和平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行；

（2）若两个平面平行，则在一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。

一、直线与方程概念、符号

1、倾斜角

在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角，当直线和x轴平行或重合时，规定其倾斜角为0°，因此，倾斜角的取值范围是0°≤α<180°。

2、斜率

倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，常用k表示，即k=tanα，常用斜率表示倾斜角不等于90°的直线对于x轴的倾斜程度。

3、到角

l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角。（l1到l2的角）

4、夹角

l1和l2相交构成的四个角中不大于直角的角叫这两条直线所成的角，简称夹角。（l1和l2的夹角或l1和l2所成的角）

二、直线与方程常用公式

1、斜率公式

（1）a（m，n），b（p，q），且m≠p，则k=（n—q）/（m—p）；

（2）若直线ab的倾斜角为α，且α≠π/2，则k=tanα。

2、“到角”及“夹角”公式

设l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，

（1）当1＋k1k2≠0时，l1到l2的角为θ，则tanθ=（k2—k1）/（1+k1k2）；

l1与l2的夹角为α，则tanα=|（k2—k1）/（1+k1k2）|。

（2）当1＋k1k2=0时，两直线夹角为π/2。

3、点到直线的距离公式

点p（x0，y0）到∶ax＋by＋c=0的距离∶

d=|ax0＋by0＋c|/√（a^2＋b^2）。

4、平行线间的距离公式

两平行线ax＋by+c1=0与ax＋by+c2=0之间的距离为：

d=|c1—c2|/√（a^2＋b^2）。

三、直线与方程常用定理

两直线位置关系的判定与性质定理如下：

（1）当l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，

平行：k1=k2，且b1≠b2；

垂直：k1k2=—1；

相交：k1≠k2；

重合：k1=k2，且b1=b2；

（2）当l1：a1x＋b1y+c1=0，l2：a2x＋b2y+c2=0，

平行：a1/a2=b1/b2，且a1/a2≠c1/c2；

垂直：a1a2+b1b2=0；

相交：a1b2≠a2b1；

重合：a1/a2=b1/b2，且a1/a2=c1/c2。

一、圆与方程概念、符号

曲线的方程、方程的曲线

在平面直角坐标系中，如果某曲线c（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）=0的实数解建立了如下的关系：

①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。

二、圆与方程常用公式

1、圆的标准方程

方程（x—a）＋（y—b）=r是圆心为（a，b），半径为r的圆的标准方程。

其中当a=b=0时，x＋y=r表示圆心为（0，0），半径为r的圆。

2、圆的一般方程

方程x＋y＋dx＋ey+f=0，当d＋e—4f>0时，称为圆的一般方程，

其中圆心为（—d/2，—e/2），半径r=1/2√（d＋e—4f）。

3、圆的参数方程

设c（a，b），半径为r，则其参数方程为

x=a+rcosθ；y=b+rsinθ（θ为参数，0≤θ＜2π）。

4、直线与圆的位置关系

设直线l：ax+by+c=0，圆c：（x—a）＋（y—b）=r。

圆心c（a，b）到l的距离为

d=|aa＋bb＋c|/√（a^2＋b^2），

d>rl与圆c相离；

d=rl与圆c相切；

d<rl与圆c相交。

5。圆与圆的位置关系

设圆c1：（x—a1）+（y—b1）=r，圆c2：（x—a2）+（y—b2）=r。

设两圆的圆心距为

d=√[（a1—a2）^2＋（b1—b2）^2]，

d>r＋r两圆外离；

d=r＋r两圆外切；

r—rl<d<r＋r两圆相交；

d=r—r两圆内切；

d<r—r两圆内含。

高一数学必修二知识点归纳总结 高一数学必修一指数知识点篇三

1、对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

中元素各表示什么？

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

3、注意下列性质：

（3）德摩根定律：

4、你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

的取值范围。

6、命题的四种形式及其相互关系是什么？

（互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7、对映射的概念了解吗？映射f：a→b，是否注意到a中元素的任意性和b中与之对应元素的性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许b中有元素无原象。）

8、函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？

（定义域、对应法则、值域）

9、求函数的定义域有哪些常见类型？

10、如何求复合函数的定义域？

义域是_____________。

11、求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

12、反函数存在的条件是什么？

（一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

①反解x;

②互换x、y;

③注明定义域

13、反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y=x对称；

②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

14、如何用定义证明函数的单调性？

（取值、作差、判正负）

如何判断复合函数的单调性？

∴……)

15、如何利用导数判断函数的单调性？

值是()

a.0b.1c.2d.3

∴a的值为3)

16、函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？

（f(x)定义域关于原点对称）

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

17、你熟悉周期函数的定义吗？

函数，t是一个周期。)

如：

18、你掌握常用的图象变换了吗？

注意如下“翻折”变换：

19、你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

的双曲线。

应用：

①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

②求闭区间[m，n]上的最值。

③求区间定（动)，对称轴动(定）的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

由图象记性质！（注意底数的限定！）

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

20、你在基本运算上常出现错误吗？

21、如何解抽象函数问题？

（赋值法、结构变换法）

22、掌握求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）

如求下列函数的最值：

23、你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为r的弧长公式和扇形面积公式吗？

24、熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

25、你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

(x，y)作图象。

27、在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。

28、在解含有正、余弦函数的问题时，你注意(到)运用函数的有界性了吗？

29、熟练掌握三角函数图象变换了吗？

（平移变换、伸缩变换）

平移公式：

图象？

30、熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

“奇”、“偶”指k取奇、偶数。

a.正值或负值

b.负值

c.非负值

d.正值

31、熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？

理解公式之间的联系：

应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）

具体方法：

（2）名的变换：化弦或化切

（3）次数的变换：升、降幂公式

（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。

32、正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？

（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）

33、用反三角函数表示角时要注意角的范围。

34、不等式的性质有哪些？

答案：c

35、利用均值不等式：

值？（一正、二定、三相等）

注意如下结论：

36、不等式证明的基本方法都掌握了吗？

（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）

并注意简单放缩法的应用。

（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）

38、用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从根的右上方开始

39、解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

40、对含有两个绝对值的不等式如何去解？

（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）

证明：

（按不等号方向放缩）

42、不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）

43、等差数列的定义与性质

0的二次函数)

项，即：

44、等比数列的定义与性质

46、你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？

例如：（1)求差(商）法

解：

[练习]

（2）叠乘法

解：

（3）等差型递推公式

[练习]

（4）等比型递推公式

[练习]

（5）倒数法

47、你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？

例如：

（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

解：

[练习]

（2）错位相减法：

（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

[练习]

48、你知道储蓄、贷款问题吗？

△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：

若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：

△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）

若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足

p——贷款数，r——利率，n——还款期数

49、解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。

（2）排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一

（3）组合：从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素并组成一组，叫做从n个不

50、解排列与组合问题的规律是：

相邻问题_法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。

如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩

则这四位同学考试成绩的所有可能情况是()

a.24b.15c.12d.10

解析：可分成两类：

（2）中间两个分数相等

相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。

∴共有5+10=15(种)情况

51、二项式定理

性质：

（3）最值：n为偶数时，n+1为奇数，中间一项的二项式系数且为第

表示)

52、你对随机事件之间的关系熟悉吗？

的和(并)。

（5）互斥事件（互不相容事件）：“a与b不能同时发生”叫做a、b互斥。

（6）对立事件（互逆事件）：

（7）独立事件：a发生与否对b发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

53、对某一事件概率的求法：

分清所求的是：

（1）等可能事件的概率(常采用排列组合的方法，即

（5）如果在一次试验中a发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中a恰好发生

如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。

（1）从中任取2件都是次品；

（2）从中任取5件恰有2件次品；

（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；

解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n=103

而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”

（4）从中依次取5件恰有2件次品。

解析：∵一件一件抽取（有顺序）

分清(1)、(2)是组合问题，(3)是可重复排列问题，(4)是无重复排列问题。

54、抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。

55、对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。

要熟悉样本频率直方图的作法：

（2）决定组距和组数；

（3）决定分点；

（4）列频率分布表；

（5）画频率直方图。

如：从10名_与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为____________。

56、你对向量的有关概念清楚吗？

（1）向量——既有大小又有方向的量。

在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。

（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。

规定零向量与任意向量平行。

（7）向量的加、减法如图：

（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）

的一组基底。

（9）向量的坐标表示

表示。

57、平面向量的数量积

数量积的几何意义：

（2）数量积的运算法则

[练习]

答案：

答案：2

答案：

58、线段的定比分点

※。你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？

59、立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？

平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

线面平行的判定：

线面平行的性质：

三垂线定理（及逆定理）：

线面垂直：

面面垂直：

60、三类角的定义及求法

（1）异面直线所成的角θ，0°<θ≤90°

（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°

（三垂线定理法：a∈α作或证ab⊥β于b，作bo⊥棱于o，连ao，则ao⊥棱l，∴∠aob为所求。）

三类角的求法：

①找出或作出有关的角。

②证明其符合定义，并指出所求作的角。

③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。

[练习]

（1）如图，oa为α的斜线ob为其在α_影，oc为α内过o点任一直线。

（2）如图，正四棱柱abcd—a1b1c1d1中对角线bd1=8，bd1与侧面b1bcc1所成的为30°。

①求bd1和底面abcd所成的角；

②求异面直线bd1和ad所成的角；

③求二面角c1—bd1—b1的大小。

（3）如图abcd为菱形，∠dab=60°，pd⊥面abcd，且pd=ad，求面pab与面pcd所成的锐二面角的大小。

（∵ab∥dc，p为面pab与面pcd的公共点，作pf∥ab，则pf为面pcd与面pab的交线……）

61、空间有几种距离？如何求距离？

点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。

将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。

如：正方形abcd—a1b1c1d1中，棱长为a，则：

（1）点c到面ab1c1的距离为___________;

（2）点b到面acb1的距离为____________;

（3）直线a1d1到面ab1c1的距离为____________;

（4）面ab1c与面a1dc1的距离为____________;

（5）点b到直线a1c1的距离为_____________。

62、你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？

正棱柱——底面为正多边形的直棱柱

正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：

它们各包含哪些元素？

63、球有哪些性质？

（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！

（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。

（5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径r与内切球半径r之比为r：r=3：1。

积为()

答案：a

64、熟记下列公式了吗？

（2）直线方程：

65、如何判断两直线平行、垂直？

66、怎样判断直线l与圆c的位置关系？

圆心到直线的距离与圆的半径比较。

直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。

67、怎样判断直线与圆锥曲线的位置？

68、分清圆锥曲线的定义

70、在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。）

71、会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？

如：

通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。

72、有关中点弦问题可考虑用“代点法”。

答案：

73、如何求解“对称”问题？

（1)证明曲线c：f(x，y)=0关于点m(a，b)成中心对称，设a(x，y)为曲线c上任意一点，设a(x，y）为a关于点m的对称点。

75、求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。

（直接法、定义法、转移法、参数法）

76、对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。

高一数学必修二知识点归纳总结 高一数学必修一指数知识点篇四

直线与平面的关系有3种：直线在平面上，直线与平面相交，直线与平面平行。其中直线与平面相交，又分为直线与平面斜交和直线与平面垂直两个子类。

直线在平面内——有无数个公共点；直线与平面相交——有且只有一个公共点；直线与平面平行——没有公共点。直线与平面相交和平行统称为直线在平面外。

直线与平面垂直的判定：如果直线l与平面α内的任意一直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。

线面平行：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。

[0，90°]或者说是[0，π/2]这个范围。

当两条直线非垂直的相交的时候，形成了4个角，这4个角分成两组对顶角。两个锐角，两个钝角。按照规定，选择锐角的那一对对顶角作为直线和直线的夹角。

直线的方向向量m=（2，0，1），平面的法向量为n=（—1，1，2），m，n夹角为θ，cosθ=（m_n）/|m||n|，结果等于0。也就是说，l和平面法向量垂直，那么l平行于平面。l和平面夹角就为0°

高一数学必修二知识点归纳总结 高一数学必修一指数知识点篇五

空间两直线的位置关系空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面

1、按是否共面可分为两类：

(1)共面：平行、相交

(2)异面：

异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角：范围为(0°，90°)esp.空间向量法

两异面直线间距离：公垂线段(有且只有一条)esp.空间向量法

2、若从有无公共点的角度看可分为两类：

(1)有且仅有一个公共点——相交直线；(2)没有公共点——平行或异面

直线和平面的位置关系：

直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行

①直线在平面内——有无数个公共点

②直线和平面相交——有且只有一个公共点

直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

空间向量法(找平面的法向量)

规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角

由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]

最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角

三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直

直线和平面垂直

直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直。直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。③直线和平面平行——没有公共点

直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

高一数学必修二知识点归纳总结 高一数学必修一指数知识点篇六

1、集合的含义

2、集合的中元素的三个特性：

（1）元素的确定性如：世界上的山

（2）元素的互异性如：由happy的字母组成的集合{h,a,p,y}

（3）元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3、集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}

（1）用拉丁字母表示集合：a={我校的篮球队员}，b={1,2,3,4,5}

（2）集合的表示方法：列举法与描述法。

注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：n

正整数集：n_或n+

整数集：z

有理数集：q

实数集：r

1)列举法：{a,b,c……}

2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合{xr|x-3>2}，{x|x-3>2}

3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4)venn图:

4、集合的分类：

（1）有限集含有有限个元素的集合

（2）无限集含有无限个元素的集合

（3）空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝

1、“包含”关系—子集

注意：有两种可能(1)a是b的一部分，；(2)a与b是同一集合。

反之:集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,记作ab或ba

2、“相等”关系：a=b(5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设a={x|x2-1=0}b={-1,1}“元素相同则两集合相等”

即：①任何一个集合是它本身的子集。aa

②真子集:如果ab,且ab那就说集合a是集合b的真子集，记作ab（或ba）

③如果ab,bc,那么ac

④如果ab同时ba那么a=b

3、不含任何元素的集合叫做空集，记为φ

规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

4、子集个数：

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有2n-1个非空子集，含有2n-1个非空真子集

运算类型交集并集补集

定义由所有属于a且属于b的元素所组成的集合，叫做a,b的交集。记作ab（读作‘a交b’），即ab={x|xa，且xb｝。

由所有属于集合a或属于集合b的元素所组成的集合，叫做a,b的并集。记作：ab（读作‘a并b’），即ab={x|xa，或xb})。

设s是一个集合，a是s的一个子集，由s中所有不属于a的元素组成的集合，叫做s中子集a的补集（或余集）

记作，即

csa=

aa=a

aφ=φ

ab=ba

aba

abb

aa=a

aφ=a

ab=ba

aba

abb

(cua)(cub)

=cu(ab)

(cua)(cub)

=cu(ab)

a(cua)=u

a(cua)=φ。

1、函数的概念

设a、b是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数x，在集合b中都有确定的数f(x)和它对应，那么就称f：a→b为从集合a到集合b的一个函数。记作：y=f(x)，x∈a.其中，x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈a}叫做函数的值域。

注意：

1、定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

（1）分式的分母不等于零；

（2）偶次方根的被开方数不小于零；

（3）对数式的真数必须大于零；

（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合。

（6）指数为零底不可以等于零，

（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。

相同函数的判断方法：

①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；

②定义域一致（两点必须同时具备）

2、值域:先考虑其定义域

（1）观察法

（2）配方法

（3）代换法

3、函数图象知识归纳

（1）定义：

在平面直角坐标系中，以函数y=f(x)，(x∈a)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点p(x，y)的集合c，叫做函数y=f(x)，(x∈a)的图象。c上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在c上。

（2）画法

1、描点法：

2、图象变换法：常用变换方法有三种：

1)平移变换

2)伸缩变换

3)对称变换

4、区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

（2）无穷区间

（3）区间的数轴表示。

5、映射

一般地，设a、b是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合a中的任意一个元素x，在集合b中都有确定的元素y与之对应，那么就称对应f：ab为从集合a到集合b的一个映射。记作“f（对应关系）：a（原象）b(象)”

对于映射f：a→b来说，则应满足：

（1）集合a中的每一个元素，在集合b中都有象，并且象是的；

（2）集合a中不同的元素，在集合b中对应的象可以是同一个；

（3）不要求集合b中的每一个元素在集合a中都有原象。

6、分段函数

（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

（2）各部分的自变量的取值情况。

（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集。

补充：复合函数

如果y=f(u)(u∈m)，u=g(x)(x∈a)，则y=f[g(x)]=f(x)(x∈a)称为f、g的复合函数。

二。函数的性质

1、函数的单调性（局部性质）

（1）增函数

设函数y=f(x)的定义域为i，如果对于定义域i内的某个区间d内的任意两个自变量x1，x2，当x1

如果对于区间d上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

注意：函数的单调性是函数的局部性质；

（2）图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的

（3）。函数单调区间与单调性的判定方法

(a)定义法：

（1）任取x1，x2∈d，且x1

（2）作差f(x1)-f(x2)；或者做商

（3）变形（通常是因式分解和配方）；

（4)定号（即判断差f(x1）-f(x2)的正负）；

（5)下结论（指出函数f(x）在给定的区间d上的单调性）。

(b)图象法（从图象上看升降）

(c)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集。

8、函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数。

（2）奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数。

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称。

9、利用定义判断函数奇偶性的步骤：

○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

○2确定f(-x)与f(x)的关系；

○3作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，则f(x)是奇函数。

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数。若对称；

（1）再根据定义判定；

（2）由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定；

（3）利用定理，或借助函数的图象判定。

10、函数的解析表达式

（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域。

（2）求函数的解析式的主要方法有：

1、凑配法

2、待定系数法

3、换元法

4、消参法

11、函数(小)值

○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的(小)值

○2利用图象求函数的(小)值

○3利用函数单调性的判断函数的(小)值：

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

第三章基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1、根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈_.

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。

当是奇数时，，当是偶数时，

2、分数指数幂

正数的分数指数幂的`意义，规定：

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3、实数指数幂的运算性质

（1）；

（2）；

（3）。

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为r.

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.

2、指数函数的图象和性质

a>10

定义域r定义域r

值域y>0值域y>0

在r上单调递增在r上单调递减

非奇非偶函数非奇非偶函数

函数图象都过定点(0，1)函数图象都过定点(0，1)

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上，值域是或；

（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；

（3）对于指数函数，总有；

二、对数函数

（一）对数

1、对数的概念：

一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（—底数，—真数，—对数式）

说明：○1注意底数的限制，且；

○2;

○3注意对数的书写格式。

两个重要对数：

○1常用对数：以10为底的对数；

○2自然对数：以无理数为底的对数的对数。

指数式与对数式的互化

幂值真数

=n=b

底数

指数对数

（二）对数的运算性质

如果，且，，，那么：

○1+；

○2-;

○3.

注意：换底公式：（，且；，且；）。

利用换底公式推导下面的结论：(1)；(2)。

（3）、重要的公式

①、负数与零没有对数；

②、，

③、对数恒等式

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）。

注意：○1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数。

○2对数函数对底数的限制：，且。

2、对数函数的性质：

a>10

定义域x>0定义域x>0

值域为r值域为r

在r上递增在r上递减

函数图象都过定点(1，0)函数图象都过定点(1，0)

（三）幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数。

2、幂函数性质归纳。

（1)所有的幂函数在(0，+∞）都有定义并且图象都过点(1，1)；

（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数。特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；

（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数。在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴。

第四章函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。

即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。

3、函数零点的求法：

○1（代数法）求方程的实数根；

○2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。

4、二次函数的零点：

二次函数。

（1）△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点。

（2）△=0，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点。

（3）△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点。