证明等式成立的方法(13篇)

人的记忆力会随着岁月的流逝而衰退，写作可以弥补记忆的不足，将曾经的人生经历和感悟记录下来，也便于保存一份美好的回忆。写范文的时候需要注意什么呢？有哪些格式需要注意呢？以下是我为大家搜集的优质范文，仅供参考，一起来看看吧

证明等式成立的方法篇一

配方法是中学数学中的一个最基本的数学方法,通过它对代数式的恒等变形,使许多复杂的问题得以简单化.现在我们就用配方法来证明恒等式和条件等式.一.通过配方直接证明等式成立

例1 求证

(abc)(xyz)(axbycz)

(bxay)(cxaz)(cybz)222222222

2证明左边=(a2x2a2y2a2z2b2x2b2y2b2z2c2x2c2y2

cz)(axbycz2axby2axcz2bycz)22222222

bx2axbyaycx2axczazcy2byczbz

(bxay)(cxaz)(cybz)***

所以左边=右边

即:(abc)(xyz)(axbycz)

(bxay)(cxaz)(cybz)2222222222

例2 已知(ca)24(ab)(bc)0，求证a、b、c成等差数列（即证明 a2bc0）

证明c22aca24ab4ac4b24bc0

c4ba4ab4bc2ac0

(a2bc)0222

2a2bc0

bac

2所以a、b、c成等差数列

二.通过配方,把已知的等式化为几个实数的平方和等于零的形式，就是说化为a2+b2+c2=0则

a=b=c=0从而从而使所求的等式成立．

例3已知a、b、c、x、y、z都是非零实数，且abcxyzaxbycz，求证x

ay

bz

c22222

2222222证明由已知条件可以得到：abcxyz2ax2by2cz0

即：(xa)(yb)(zc)0222

xa0xa

yb0yb

zc0zc

而a、b、c都不等于零，所以

例4 xaybzc 已知a、b、m、n都是正数，并且a4b4m4n44abmn0

求证abmn

证明将已知等式的左边进行配方可得：

a2abbm2mnn2ab2mn4abmn0422442242222

(a2b2)2(m2n2)22(abmn)20

a2b20

22mn0

abmn0

ab

abmn a,b,m,n都是正数mn

22bn0

综上所述，我们在解题过程中一方面要充分认识完全平方公式的特点(ab)a2abb，然后逆用公式进行证明如例1和例2。另一方面也要利用它的非负222

性的性质：(ab)20当且仅当a=b时等号成立。通过添加适当的项构造出完全平方式进行等式的证明如例3和例4。

证明等式成立的方法篇二

数学基本功

等式·文正书院·

定义与形式

定义：含有等号的式子叫做等式。

形式：把相等的两个数(或字母表示的数)用等号连接起来。

等式的性质：

1.等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式。

即，如果a=b，那么a+m=b+m，a－m=b－m；

2.等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为零)，所得的结果仍是等

式。即，如果a=b，那么am=bm，ab(m0)； mm

3.如果a=b，则b=a，这是等式的对称性；

4.如果a=b，b=c，则a=c，这是等式的传递性；

5.等式的两边同时乘方(或开方)，两边依然相等(在代数式有意义的情况下)。

即，如果a=b，那么有ab或ab。

扩展：

 等式两边取相反数，结果仍相等。如果a=b，那么－a=－b；

 等式两边不等于0时，两边取倒数，结果仍相等。如果a=b≠0，那么cc11； ab

 自反性：对任意量a，a = a。这个性质通常在数学证明中作为中间步骤，尤其几何

证明中；

 约等于的符号是 ≈，由“约等于”永远推导不出“等于”。

 解方程

由于等式的性质，才能可以导出解方程中的移项法则及去分母法则：

移项法则：将含未知数的项移到左边，同时进行变号；常数项移到右边，同时进行

变号。

(在等式的两边同时加上或减去同一个数或式，等式仍然成立。)

去分母法则：等式两边同时乘以所有分母的最小公倍数。

(在等式的两边同时乘以或除以同一个数或式，等式仍然成立。)

 解不等式 移项法则可无条件的运用于解不等式；

而去分母法则在被乘数或被除数为正时成立，为负时，则需改变不等号的方向。

 分式的基本性质:

分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。

由此而产生了分式的约分与通分。

 约分是为了简洁代数式，通分是为了分式的加减运算。

 约分是浓缩，通分是膨胀；

 约分与通分都是代数式的自我运算。

证明等式成立的方法篇三

等式及其性质

【教学内容】

教科书第77页例

1、例2。 【教学目标】

1认识等式，说出等式的意义。

2知道等量并会从实际情境中找出等量。3理解和掌握等式的基本性质。4 能对等式的性质进行简单应用。【教学重、难点】 1理解等式的意义。

2能从实际情境中找出等量并写出等式。3 理解等式的基本性质及简单应用。【教具准备】 课件。

【教学过程】

一、复习导入 课件出示：

1、用含字母的式子表示数量关系。

2、用含字母的式子表示数量关系书写要求填空。 学生独立完成后汇报结果。

师：通过刚才的练习，同学们都能含字母的式子表示数量关系，提问：生活中有没有相等的数量关系呢？

二、引入新课：

（一）等式的意义 师：让我们来看看云岭小学组织五年级同学们清明节扫墓活动。课件出示主题图。师：你都知道了哪些数学信息？

生：五年级共有55名学生，中巴车上有17人，大巴车上有38人。分析数量关系，建立模型

师：要表示中巴车上的人数，可以怎样表示？ 生：可以用17表示。（师板书17人）

师：还能用其他的方式表示中巴车上的人数吗？ 同桌议一议。

生：我们还可以用（55-38）人表示中巴车上的人数。师板书：（55-38）人。

师：同学们真会动脑筋，用总人数-大巴车上的人数=中巴车上的人数。

师：请观察，（指板书）现在我们用了哪些方法可以表示“中巴车上的人数”？ 同桌交流。抽生汇报。

生：中巴车上的人数可以用17人表示，还可以用（55-38）人表示。师：那它们的大小怎样？ 生：大小相等。师小结：一个量可以直接表示出来，也可以通过另外的量间接表示出来，这里的17人和（55-38）人都表示的是中巴车上的人数。

师：数学上把表示等量的数或式子可以用等号连接起来。在17和（55-38）之间加上等号。（板书：添等号）提问：还能找出哪些等量关系？

学生交流，抽学生说。（55=17+38，38=55-17等）

师：用字母a表示中巴车上的人数，用b表示大巴车上的人数，又可写出哪些等量关系呢？

生：抽学生说，师：写出等量关系。板书：表示相等关系的式子是等式。

试一试，在实际生活情景中，找出等式。出示课件 生：交流找出等式 并板书出来。提问：你知道什么是等式了吗？ 生：知道

哪我们来看看是否掌握了呢？

出示题，判断下列哪些是等式？（题中表示不等关系的式子叫什么呢？不等式）

（二）等式有什么性质呢？

同学们知道天平称吗？ 课件出示：天平，认识天平及天平原理。师：天平平衡，说明什么？ 生：说明左右两边的质量相同。

师：所以，可以用等式表示它们的关系。（板书：a=b）探索性质1：

师：根据这幅图，你能写一个怎样的等式？ 生：2a=b。

课件出示：天平的左边增加1个100g的物体，天平失去平衡。师：天平现在还是平衡的吗？ 生：不是。

师：现在你能找到等量关系吗？ 生：不能找到。

师：怎样才能让天平重新平衡呢？你能想出哪些方法？ 小组讨论，请学生说一说想法。

生1：可以在天平的右边也放100g的东西，天平可能重新平衡。观察天平你能写出一个等式吗？（能，2a+100=b+100）师：你发现了等式两边有什么变化？ 生：都加100，仍是等式。

师：现在两边同时减100，天平平衡吗？ 生：发现天平仍然平衡。

师：你又能写出一个等式吗？（生：能，2a+100-100=b+100-100）师：观察三个等式你发现等式有什么性质？ 课件：出示等式性质1 探索性质2：

师：右边增加b后，天平平衡吗？ 生：不平衡（右边质量是原来的2倍。）师：怎样才能使天平平衡呢？

生：左边也放原来的2倍，天平就平衡。生：右边增加后的质量是原来的2倍。

师：变化前和变化后，天平都处于平衡状态，所以可以把这两组算式用等号连接起来。

教师板书：教师板书：2a×2=b×2 师：你能得到什么结论呢？

生：如果天平两边的质量同时扩大2倍，天平依然平衡。

师：如果同时扩大5倍、10倍、15倍呢？天平也平衡吗？猜一猜。生：肯定也平衡。

师：你们的猜测是正确的，只要两边同时扩大相同的倍数，天平仍然平衡。（课件出示）

师：刚才的实验是“两边同时扩大相同的倍数”，这让我想到了，假如两边同时缩小相同的倍数，天平也会平衡吗？

课件出示：两边同时缩小相同的倍数，天平也平衡。师：你发现等式又有什么性质呢？

生1：在等式的两边同时乘或同时除以一个相同的数，等式依然成立。师：在同时乘或除以一个数时，有没有需要注意的地方？ 生2：除以的这个数不能为0。

师：你提醒得很好。今天，我们通过大量的实验，得到了这个非常重要的结论，它将为我们后面“方程”的学习打好基础。指导学生勾出书上第78页的结论，齐读。师：这个结论就是“等式的性质”。（板书）

三、巩固应用

课件出示：等式性质简单应用

学生完成，抽学生说一说。课堂活动，根据时间情况安排。

四、课堂小结：你有什么收获或质疑？

1、等式意义

2、等式基本性质。

证明等式成立的方法篇四

幸福等式

幸福=n+1=生活。

幸福无处不在——有一个老太太，她的大儿子做了洗染店老板，小儿子做了雨伞店老板。老太太却天天为他们忧虑：雨天，担心洗染店衣服晾不干；晴天，生怕雨伞店雨伞卖不出„„

摘不到的星星，总是最闪亮的；得不到的东西，总是最宝贵的。其实，老太太是幸福的，雨天，小儿子生意兴隆；晴天，大儿子顾客盈门。这不就是一种令人满足、向往的生活吗？

我们总是羡慕别人的幸福生活，便忽视了自己身边的幸福——

学习=幸福

学习是幸福的，因为我们在汲取只是养分。或许有人觉得学习苦闷不堪，但人生就是一个不断学习的过程。我们就像是一个方程式，而学习就是未知数“x”。“学到老，活到老”，我们不知道“x”是多少，也不知道要多久才能解开它。可能是我们不懂解开它，可能是我们不想解开它。我们永远也离不开它，因为，学习给予我们养分，让我们浸泡在无限幸福之中。

助人=幸福

助人是幸福的，因为我们在奉献爱心。助人有时候会“吃亏”，甚至惹来不必要的麻烦。但是，“吃小亏，赚大便宜”。助人不仅仅是付出，更是一种收获。“赠人玫瑰，手有余香”。当我们付出的越多，内心就越幸福。

知足=幸福

知足是幸福的，因为你拥有的一切都是弥足珍贵的。永远不要羡慕别人的生活，即使那个人看起来快乐富足。幸福，如人饮水，冷暖自知。所谓“知足者常乐”，懂得满足自己的生活，也是一种幸福。

生活=学习+助人+„„=幸福

生活与幸福本就是一个等式，生活源于点点幸福，幸福源于种种生活。只要用心呼吸，身旁的空气也充满幸福的味道。

旗峰中学初二:梦之彗星

证明等式成立的方法篇五

教学内容：等式的性质（4）教学目标：

1.初步理解等式的性质，学会用等式的性质解ax±b=c这类形式的方程，能用方程表示简单情境中的等量关系。

2.通过分类、比较、转化等方法，学会解形如ax±b=c这类方程。 3.在教学活动中，培养学生学会检验的良好学习习惯。教学重点：会解形如ax±b=c这类方程。教学难点：会解形如ax±b=c这类方程。教学用具：多媒体课件等

教学方法：操作法，讨论法，练习法 教学过程：

一、复习铺垫，温故引新。

1.观察信息，用方程表示下面的等量关系。

先找出等量关系，再列方程并解答。2.解方程

12x=96 x÷40=14

二、探索尝试，解释交流。 1.回顾信息 解决问题

（1）介绍东北虎有关信息（信息窗1）（2）提出问题

学生读取有关东北虎的有关信息。

学生提出：2003年繁育基地有多少只东北虎？ 2.思考交流 探究方法

（1）方程形式类比，引导知识迁移

提问：观察这个方程的形式和前面学习过的方程有什么不同？你会计算吗？

自主探索解决问题的方法，找出等量关系，列出方程。

2003年的只数×3+100=2010年的只数

解：设2003年繁育基地有东北虎x只。

3x+100=1000（2）运用转化思想，尝试解决新知。

提问：能否用等式的性质解这种形式的方程？怎样算？（板书解方程书写格式）学生独立思考，尝试解方程。

在交流中明确，在解此类方程的过程中运用了两次等式的性质（3）检验方程结果，明确方程解法

x=300是方程的解吗？我们来检验一下方程。

把x=300代入原方程 板书检验格式

小结：解这种类型的方程，关键是要把 看作是一个数，根据等式的性质，先求出，再求出 得多少。3.补充练习

根据刚才学过的方法，求出下面方程的解。1.2x-1.4=8.2 提问：说说你是怎样解方程的？应该注意哪些问题？ 根据学生的回答，总结ax±b=c这类形式方程的解法。1.解方程

2+4x=3.6 8x+2=4.4 3x+1.5=6 2.5+10x=12.5 让学生说一说怎样解方程？ 提示学生注意检验

2.根据题目中的数量关系列出方程并求出方程的解。

（1）课本69页自主练习第8题，先找出数量关系，列方程解答。

（2）滇金丝猴体长约为80厘米，它的体长比间蜂猴的3倍多5厘米，间蜂猴的体长大约是多少厘米？

列方程解决问题。说说你是怎样想的? 课堂总结：说一说这节课你有哪些收获？ 板书设计：

等式的性质（4）

2003年的只数×3+100=2010年的只数

解：设2003年繁育基地有东北虎x只。

3x+100=1000 3x+100-100=1000-100 3x=900 3x÷3=900÷3 x=300 教后反思： 在本节课中，我引导学生用转化的思想探究两次运用等式的性质求出方程的解的这一类方程题，学生在尝试中，有的解出方程，但不敢肯定自己做的对还是不对，我又对他们说，有什么办法能证明自己做的对不对呢？让学生自己经济进行验算。经过验算之后，知道自己做对了，学生那个尝到了探

证明等式成立的方法篇六

郑州市经济贸易学校

试讲教案

会计等式

主讲： 严 超

重点：会计等式的表达式 难点：经济业务对会计等式的影响

一、会计基本等式：

（一）会计等式的概念：是指会计核算中反映各个会计要素数量关系的等式，又称会计方程式或会计平衡公式。

会计等式是对会计要素的性质及相互之间的内在经济关系所作的概括和科学的表达，是正确地设置账户、复式记账、试算平衡、编制会计报表的重要理论依据。

（二）会计基本等式：

概念：是指企业的资产与权益之间所存在的总额上必然相等的一种关系式，又叫会计恒等式。公式：资产=权益

资产=负债+所有者权益

原理：企业开展经营活动，必须拥有一定的经营资金，它的来源渠道有两个：一个是企业的所有者投入的，叫所有者权益；另一个是由企业的债权人提供的，叫负债；二者合称为权益。而经营资金的运用形态则表现为五类资产。而同一部分经营资金的来源与运用，其总额肯定相等，所以资产=负债+所有者权益。

（此处可补充企业创建必须获得法定资本金，才能够成立为企业，因而必须得拥有一定数量的资金。）

作用：该等式反映的是资产、负债、所有者权益三个会计要素之间的联系和基本数量关系，是企业财务状况的表达式，是复式记账、试算平衡和编制资产负债表的理论依据。

二、会计基本等式的扩展：

（思路：此处引导学生思考，会计要素有六项，刚才介绍了三项要素之间的关系，那剩余的三项要素之间是否也存在一定的等式关系呢？通过提示“利润”这一会计要素的含义即可得出如下内容）

收入—费用 = 利润

（再次分析收入与费用的特性，得出）资产 = 负债 + 所有者权益 +（收入—费用）资产 = 负债 + 所有者权益 + 利润（—亏损）

1 郑州市经济贸易学校

试讲教案

（过渡：刚才我们介绍了会计等式的组成内容，其中有一个等式还称之为会计恒等式，那么会计恒等式为何恒等呢？下面通过企业经济业务的发生类型，我们来观察恒等式的恒等表现。）

三、经济业务对会计（恒）等式的影响：

（一）经济业务的类型：经济业务：即企业所发生的能以货币计量的经济活动，又叫会计事项。经济业务的类型，一般有以下四大类九小种：

资产与权益同时增加。①资产与负债同增；②资产与所有者权益同增。资产与权益同时减少。①资产与负债同减；②资产与所有者权益同减。资产内部一增一减。一项资产增加，一项资产减少。

权益内部一增一减。①一项负债增加，一项负债减少。②一项所有者权益增加，另一项减少。③一项负债增加，一项所有者权益减少。④一项负债减少，一项所有者权益增加。

经济业务类型举例：参考教材第17页的华美公司2008年1月份经济业务。

五、总结巩固：会计等式是会计要素之间存在的关系式，而企业的任何一项经济业务的发生，都会引起会计要素的变动，因而了解会计等式，经济业务类型及其对会计等式的影响，是我们学习《基础会计学》必须掌握的基础知识，也是今后学习专业会计知识的基础，必须准确清晰地掌握。

六、布置作业：经济业务对会计恒等式有何影响？

七、板书内容：

会计等式

一、资产=负债+所有者权益（会计基本等式）

三、六大会计要素之间的关系

a、将两个等式合并:

（一）会计恒等式

[资产=负债+所有者权益]+[收入-费

资金到哪里去=资金从哪里来 用=利润]

b、由于“利润”可增加“所有者权益”，资产 = 权益

变化为:

资产 = 债权人权益 + 所有者权益 资产=负债+所有者权益+利润（净收益）

（会计扩展等式）

资产 = 负债 + 所有者权益

或:资产=负债+所有者权益+（收入-费用）

（二）经济业务对会计恒等式的影响

资产 = 负债 + 所有者权益 c、将上面b中的第一个公式移项即成:

资产+费用=负债+所有者权益+收入(资金运动的静态表现）

二、收入-费用=利润（资金运动的动态表现）

证明等式成立的方法篇七

第一章三角形的证明、第二章不等式练习题

一选择题：

1、如图1给出下列四组条件： a d

①ab=de，bc=ef，ac=df

②abde，be，bcef；

③be，bcef，cf；

b e ④abde，acdf，be．

图

1 其中，能使△abc≌△def的条件共有（）

a．1组b．2组c．3组d．4组

2、等腰三角形底边长为7，一腰上的中线把其周长分成两部分的差为3，则腰长是

（）

a、4b、10c、4或10d、以上答案都不对

3、如图2，ae⊥ab，bc⊥ab，ea=ab=2bc，d为ab中点，有以下结论：(1)de=ac；

(2)de⊥ac；(3)∠cab=30°；(4)∠eaf=∠ade其中结论正确的是（）

a、(1)，(3)b、(2)，(3)c、(3)，(4)d、(1)，(2)，(4)

4、下列不等式变形正确的是（）

a．由ab，得acbcb．由ab，得2a2b

c

．由，得abd．由ab，得a2b

24、设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况 如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（）a．■、●、▲ b．▲、■、● c．■、▲、● d．●、▲、■图

3 图2

5、已知不等式x10，此不等式的解集在数轴上表示为（）

6、下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形.其中正确的有（）a.1个b.2个c.3个d.4个 7.如图3，△abc中，ab的垂直平分线交ac于点d，交ab于点e，如果 cm，cm，那么△的周长是（）

a.6 cmb.7 cmc.8 cmd.9 cm

8.等腰三角形的底边长为a，顶角是底角的4倍，则腰上的高是（）

a.32ab.3ac.6a

d.2a

9、下列说法中，错误．．的是（）a.不等式x2的正整数解中有一个b.2是不等式2x10的一个解

c.不等式3x9的解集是x3d.不等式x10的整数解有无数个 10．如图4示，一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k0）与正比例函数y＝ax（a为常数，且a0）相交于点p，则不等式kx+b>ax的解集是（）

a．x>1b．x2d．x

2二、填空题

11、等腰三角形的两边长分别为5或6，则这个等腰三角形的周长是．

12、已知函数y＝3－2x，当x＿＿＿＿＿时，y≤0．

13、如图5，△abc中，∠c=rt∠，ad平分∠bac交bc于点d，bd∶dc=2∶1，bc=7.8cm，则d到ab的距离为cm.14、如图6，一次函数yaxb的图象经过a、b两点，则关于x的不等式axb0的解

集是．

15、△abc中，am平分∠，cm，则点m到ab的距离是_________.16、如图7，已

知的垂直平分线

交于

点，则

.图5 图7图

4图6

三、解答题

17、解不等式并把解集在数轴上表示出来。 3x212x13x22x

153

118、已知不等式x＋8＞4x＋m(m是常数)的解集是x＜3，求m。

19、如图⊿abc中，∠acb的平分线交ab于e，∠acb的补角∠acd的平分线为cg，eg∥bc交ac于f，ef会与fg相等吗？为什么？

20、有20名工人，每人每天加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这20名工

人中，派一部分工人加工甲零件，其余的加工乙种零件．已知每加工甲种零件可获利16元，每加工乙种零件可获利24元．

（1）写出此车间每天所获利润y（元）与生产甲种零件人数x（人）之间的函数关系

式（用x表示y）．

（2）若要使车间每天获利不少于1800元，问最多派多少人加工甲种零件？

21、一家小型放映厅的盈利额y（元）同售票数x（张）之间的关系如图所示，其中保险部门规定：超过150人时，要缴纳公安消防保险费50元。试根据关系图，回答下列问题：（1）当售票数满足0＜x≤150时，盈利额y（元）与x之间的函数关系式是___________；（2）当售票数满足150＜x≤200时，盈利额y（元）与x之间的函数关系式是_____________；

（3）当售票数x为____________时，不赔不赚；当售票数x满足_________时，放影厅要赔本；当售出的票数x为____________时，此放映厅能赚钱；（4）当售出的票数x为何值时，此时所获得利润比x＝150时多？

22、某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近a、b两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动： a超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售； b超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．

设在a超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为ya（元），在b超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yb（元）．请解答下列问题：（1）分别写出ya、yb与x之间的关系式；

（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？

（3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案．

23、如图，在rt△abc中，∠c＝90°，沿过b点的一条直线be折叠这个三角形，使c点与ab边上的一点d重合．

(1)当∠a满足什么条件时，点d恰为ab的中点?写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明d为ab的中点；

(2)在(1)的条件下，若de＝1，求△abc的面积．

证明等式成立的方法篇八

《等式的性质》教学反思

商丹高新学校 张彦刚

《等式的性质》这部分内容是在学生已学用方程表示简单情境中的数量关系的基础上，通过天平这一直观教具，引导学生探索和发现等式性质，它是解方程的认知基础，因此学习和理解等式的性质就显得尤为重要。根据教材内容和学情，我将教学重点确定为：掌握等式的基本性质；教学难点为：理解并掌握等式的性质，能根据具体情境列出相应的方程。

一、成功之处

1.游戏热身，点燃热情。

课堂开始，我设计了一个请学生用身体模仿天平的热身游戏，伸开两臂，犹如人体天平，我用课件给出天平两边不同的重量或是相同的重量，让学生模仿不同的天平状态，学生玩得高兴，学得轻松，他们对天平只要两边重量相等才会平衡加深了认识。

2.先扶后放，研究性质。

在教学中，我将等式的第一个性质作为引导重点研究内容，让学生仔细观察第一个天平图，并说一说：通过图你知道了什么？学生比较轻松观察到：天平的左边放了一把茶壶，右边放了两个茶杯，天平保持平衡，从而发现一个茶壶的重量=2个茶杯的重量。接着通过课件动态展示在天平的两边同时各放上一个茶杯，引导学生思考：此时天平会发生什么变化呢？为什么？你是怎么想的？通过一系列不断追问，鼓励学生完整说出自己的思考过程。然后课件动态再演示这一过程，接着提出不同的问题：如果同时加上两个、三个、五个、六个同样的茶杯，天平会怎样呢？为什么？这样学生有理有据地表述自己的观点。同时引导学生构建出天平与等式之间的联系，将天平上的实物抽象到等式的计算中，从而一步步引导学生发现“等式的两边同时加上或减去同一个数，等式的两边相等”的性质。然后再放手让学生通过观察、理解、操作，共同探索得出等式的第二个性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。我尽可能地放手，给予适时地点拨，总结。在“为什么等式两边不能除以0？”这个问题时组织学生交流，使他们理解：0不能做除数。3.开放练习，激活思维。

为了激活学生思维，我将巩固练习设计为思维开放的题目，使学生积极主动思考。我设置了以下题目：

（1）如果2x-5=9,那么2x =9＋（）（2）如果5=10＋x ,那么5x-（）=10（3）如果3x =7,那么6x =（）（4）如果5x =15,那么x =（）

先让学生回忆等式的性质，再利用等式的性质填空。对于不同层次的学生，他们的思维广度和深度是不同的，做到了使不同的学生在数学上获得不同的发展。

二、改进之处

1.在等式性质的探究中，为了加强对比，我觉得应该再增加在天平的两边同时加、减、乘、除去不同质量的物品，让学生发现这时天平不平衡，通过这一层次的实验，从而让学生清楚地加深加上对“同一个数”的认识，进行更深入地思考。

2.对于等式的性质应不仅仅停留在说的这一环节，而应在实验的基础上让学生灵活地运用字母表示数的知识，将等式写出来加以表示，这样不仅有效地训练学生数学的思维，还使学生对等式的性质有了更深一层的认识，为以后的学习做好铺垫。

总之，在课堂上我逐渐放手，让学生经历观察、实验、猜测、推理、验证的过程，使他们不断加深对等式性质的理解，同时为后面学习解方程奠定良好的基础。

证明等式成立的方法篇九

梯田文化

教辅专家

《课堂点睛》

《课堂内外》

《作业精编》

2.1.2等式性质（2）（第二课时）

【知识技能】（1）通过解一元一次方程进一步理解等式的性质；

（2）会用等式的性质解简单的（两次运用用等式的性质）一元一次方程；；

（3）培养学生言必有据的思维能力和良好的思维品质；；

（4）初步具有解方程中的“化归”的能力．。【数学思考】（1）初步体会有条理的推理；

（2）经历运用等式性质解方程的过程，能有条理地阐述自己的观点。【解决问题】能解简单的一元一次方程。【情感态度】（1）能积极的参与数学活动；

（2）感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。【教学重点】用等式的性质解方程。

【教学难点】需要两次运用等式的性质，并且有一定的思维顺序。【教学过程】

一． 复习引入：

解下列方程：（1）x＋5=1.4;（2）

23x 32在学生解答后的讲评中围绕两个问题：

① 每一步的依据分别是什么？

② 求方程的解就是把方程化成什么形式？ 这节课继续学习用等式的性质解一元一次方程。

二． 探究新知：

对于简单的方程，我们通过观察就能选择用等式的哪一条性质来解，下列方程你也能马上做出选择吗？

例1 利用等式的性质解方程：（）0.6－x=2.4（2）1x54 3先让学生对第（1）题进行尝试，然后教师进行引导：

① 要把方程0.6－x=2.4转化为x=a的形式，必须去掉方程左边的0.6，怎么去？ ② 要把方程－x=1.8转化为x=a的形式，必须去掉x前面的“－”号，怎么去？

然后给出解答：

解：两边减0.6，得0.6－x－0.6=2.4－0.6 化简，得

－x=1.8 两边同乘－1，得l x=－1.8 小结：（1）这个方程的解答中两次运用了等式的性质（2）解方程的目标是把方程最终化为x=a的形式，在运用性质进行变形时，始终要朝着这个目标去转化．

你能用这种方法解第（2）题吗？ 在学生解答后再点评．

解：两边加5，得 化简，得 1x5545 31x9 3两边同乘-3，得 x=27 解后反思：

①第（2）题能否先在方程的两边同乘“一3”？ 梯田文化

教辅专家

《课堂点睛》

《课堂内外》

《作业精编》

②比较这两种方法，你认为哪一种方法更好？为什么？

允许学生在讨论后再回答．

例2（补充）服装厂用355米布做成人服装和儿童服装，成人服装每套平均用布3．5米，儿童服装每套平均用布1．5米．现已做了80套成人服装，用余下的布还可以做几套儿童服装？

在学生弄清题意后，教师再作分析：如果设余下的布可以做x套儿童服装，那么这x套服装就需要布1.5x米，根据题意，你能列出方程吗？

解：设余下的布可以做x套儿童服装，那么这x套服装就需要布1.5米，根据题意，得

80×3.5＋1.5x＝355．

化简，得

280＋1.5x＝355，两边减280，得

280＋1.5x－280＝355－280，化简，得

1.5x＝75，两边同除以1.5，得x＝50．

答：用余下的布还可以做50套儿童服装．

解后反思：对于许多实际间题，我们可以通过设未知数，列方程，解方程，以求出问题的解．也就是把实际问题转化为数学问题．

问题：我们如何才能判别求出的答案50是否正确？

在学生代入验算后，教师引导学生归纳出方法：检验一个数值是不是某个方程的解，可以把这个数值代入方程，看方程左右两边是否相等，例如：把x=50代入方程80×3.5＋1.5x=355的左边，得80×3.5＋1.5×50=280＋75=355 方程的左右两边相等，所以x=50是方程的解。

你能检验一下x=－27是不是方程1x54的解吗？ 3三．巩固新知：

1．课本p73练习（3）、（4）解答：（3）x=-4

（4）x4 52．补充练习：小刚带了18元钱到文具店买学习用品，他买了5支单价为1.2元的圆珠笔，剩下的钱刚好可以买8本笔记本，问笔记本的单价是多少？（用列方程的方法求解）解： 设笔记本的单价为x元

根据圆珠笔和笔记本的钱的总和为18元，得方程 5×1.2+8x=18 化简，得 6+8x=18 两边减6，得6+8x-6=18-6 化简，得 8x=12 两边同除以8，得 x=1.5 答：笔记本的单价是每本1.5元。

四.归纳总结：

（学生总结，教师评价和补充）

（1）这节课学习的内容。（2）我有哪些收获？

（3）我应该注意什么问题？

五．课后作业： 梯田文化

教辅专家

《课堂点睛》

《课堂内外》

《作业精编》

1．课本p73习题2.1的4题

(答案：（1）x=33（2）x=8（3）x1（4）x=1)2．补充作业

1用等式的性质解方程：①3＋4x=13;②4x5

25（答案：①x ②x=-2）

23．p74第10题

【设计理念】

1、力求体现新课程理念：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者．本设计从新课的引人、例题的处理（包括解题后的反思）、反馈练习及小结提高等各环节都力求充分体现这一点．

2、在传统的课堂教学中，教师往往通过大量地讲解，把学生变成任教师“灌输”的“容 器”，学生只能接受、输入并存储知识，而教师进行的也只不过是机械地复制文化知识．新 课程的一个重要方面就是要改变学生的学习方式，将被动的、接受式的学习方式，转变为动手实践、自主探索与合作交流等方式．本设计在这方面也有较好的体现．

3、为突出重点，分散难点，使学生能有较多机会接触列方程，本章把对实际问题的讨论作为贯穿于全章前后的一条主线．对一元一次方程解法的讨论始终是结合解决实际问题进行的，即先列出方程，然后讨论如何解方程，这是本章的又一特点．本设计充分体现了这一特点．

证明等式成立的方法篇十

如何解不等式

①如果x>y，那么yy； ②如果x>y，y>z；那么x>z；

③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z； ④ 如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，zy，z>0,那么x÷z>y÷z;如果x>y，zy，m>n，那么x+m>y+n。⑦如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn。

⑧如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数）。

不等式的特殊性质有以下三种：

①不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；

②不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；

③不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变。总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。证明方法 比较法

①作差比较法：根据a-b>0↔a>b，欲证a>b，只需证a-b>0； ②作商比较法：根据a/b=1，当b>0时，得a>b，当b>0时，欲证a>b，只需证a/b>1，当b

由因导果。证明不等式时，从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形推导出要证明的不等式.合法又叫顺推证法或因导果法。分析法

执果索因。证明不等式时，从待证命题出发，寻找使其成立的充分条件.由于”分析法“证题书写不是太方便，所以有时我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用”综合法“进行表述。放缩法

将不等式一侧适当的放大或缩小以达到证题目的，已知a

证明与自然数n有关的不等式时，可用数学归纳法证之。用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。

反证法证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。换元法

换元的目的就是减少不等式中变量的个数，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。构造法

通过构造函数、图形、方程、数列、向量等来证明不等式。[1] 重要不等式 柯西不等式

柯西不等式的几种变形形式

1.设xi∈r,yi>0(i=1,2,„,n)则，当且仅当bi=l*ai(i=1,2,3,„,n)时取等号。

2.设ai，bi同号且不为零(i=1,2,„,n)，则，当且仅当b1=b2=„=bn时取等。 证法

柯西不等式的一般证法有以下几种：

①cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有(∑ai^2)*(∑bi^2)≥(∑ai * bi)^2.我们令 f(x)= ∑(ai + x * bi)^2 =(∑bi^2)* x^2 + 2 *(∑ai * bi)* x +(∑ai^2)则我们知道恒有 f(x)≥ 0.用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 δ = 4 *(∑ai * bi)^2-4 *(∑ai^2)*(∑bi^2)≤ 0.于是移项得到结论。

②用向量来证。m=(a1,a2......an)n=(b1,b2......bn)mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/

2乘

以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosx． 因为cosx小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2，这就证明了不等式． 柯西不等式的证明方法还有很多种，这里只取两种较常用的证法。柯西不等式的应用

柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。

例（巧拆常数）：设a、b、c 为正数且各不相等。求证： 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)分析：∵a、b、c 均为正数 ∴为证结论正确只需证：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9 2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)又 9=(1+1+1)(1+1+1)证

明

：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9 又 a、b、c 各不相等，故等号不能成立 ∴原不等式成立。[2] 排序不等式

排序不等式又称排序原理。

而对于两组有序的实数x1≤x2≤„≤xn，y1≤y2≤„≤yn，设yi1，yi2，„，yin是后一组的任意一个排列，记s=x1yn+x2yn-1+„+xny1，m=x1yi1+x2yi2+„+xnyin，l=x1y1+x2y2+„+xnyn，那么恒有s≤m≤l。

当且仅当x1=x2=„„=xn且y1=y2=„„yn时，等号成立。即反序和≤乱序和≤顺序和。

例题 例1 判断下列命题的真假，并说明理由。

若a>b，c=d，则ac>bd(假，因为c，d符号不定)若a+c>c+b，则a>b；(真)若a>b且abb；(真)若|a|b2；(充要条件)说明：本题要求学生完成一种规范的证明或解题过程，在完善解题规范的过程中完善自身逻辑思维的严密性。例2 a，b∈r且a>b，比较a3-b3与ab2-a2b的大小。(≥)说明：强调在最后一步中，说明等号取到的情况，为今后基本不等式求最值作思维准备。例3 设a>b，n是偶数且n∈n*，试比较an+bn与an-1b+abn-1的大小。说明：本例条件是a>b，与正值不等式乘方性质相比在于缺少了a，b为正值这一条件，为此我们必须对a，b的取值情况加以分类讨论。因为a>b，可由三种情况(1)a>b≥0；(2)a≥0>b；(3)0>a>b。由此得到总有an+bn>an-1b+abn-1。通过本例可以开始渗透分类讨论的数学思想。

证明等式成立的方法篇十一

《认识等式和方程》教学设计

一、课前部分

（一）教材分析

此课是学生已学过整数四则运算法则和定律，掌握了用字母表示数的基础上进行教学的，同时又是即将学习的“解方程”的基础。教材提出了“观察天平图、用式子表示天平两边物体质量关系”的要求。在学生观察、按要求写式子，以及对写出的式子进行分析归纳的基础上，认识等式和方程。

（二）学生分析

生活中，学生已经获得了有关“轻重”直观、具体的数学活动经验，经历过对实际的量的比较活动；学生理解了用字母表示数的意义。科学课上学生用过天平，但在数学课上用天平还很少。学生用数学语言描述天平的等量关系时有困难；已有的解决数学问题的算术解法思路对列方程造成一定的干扰作用。

学生对于利用天平解决实际问题较感兴趣，对于从各种具体情境中寻找发现等量关系并用数学的语言表达则表现出需要老师引导和同伴互助，需要将独立思考与合作交流相结合。

（三）教学目标

1、结合天平示意图，在观察、用式子表示数量关系、归纳、类比等活动中，经历认识等式和方程的过程。

2、了解等式和方程的意义，能判断哪些是等式、哪些是方程，能根据具体的情境列出方程。

3、主动参与学习活动，获得积极的学习体验，激发学习新知识的兴趣。

（四）教学重点与难点： 重点：认识等式和方程，能判断哪些是等式、哪些是方程。了解等式和方程的意义。

难点：理解等式和方程的关系。能根据具体情境列出方程。

（五）教学策略 1.学法

叶圣陶先生说过：“教是为了不教.”我们不仅要教给学生知识,更要教会学生如何去学.因此,在学法中,让学生通过“感知交流→观察比较→得出概念→分析概念”的探究过程去发现新知,从而达到发展思维,提高能力的目的.2.教法

学习是学生自己进行知识建构的过程.因此,根据教学目标的要求和学生实际,我采用以小组合作观察探究为主,多媒体为辅的教学方式来培养学生自主学习的能力、观察探究的能力以及分析解决问题的能力.（六）教学用具：简易天平、砝码、一袋80克砝码，给每个学生准备带有式子的小纸条。

二、课堂系统部分——教学过程

一、谜语引入，激发兴趣

谜语

一、像糖不是糖，不能用口尝，帮你改错字，纸上来回忙。

谜语

二、一个小矮个，身上挑副担，如果挑不平，头偏心不甘。一个铁汉挑扁担，东西放在两边篮，生来个性最公道，偏心事儿总不干。（打一仪器）

［设计意图：通过师生谜语的游戏，最大程度的调动学生好奇心，激发学习本课的兴趣，拉近师生之间的距离。］

二、情景呈现，抽象模型 1．师：老师这有一台科学课上用的天平，关于天平，你们都了解些什么?

2、师：课件出示老师使用天平的过程，天平由平衡（空天平）——不平衡（一端有物品）——平衡（两端都有物品）。你看到了什么？天平平衡又说明了什么？

师板书：天平平衡 －－ 左边 右边

［设计意图：天平的呈现，让学生认知从平衡-不平衡-平衡这一过程，通过三步教学设计，使每个学生都能充分意识到天平中存在着关系，特别是用等式来表示天平两端平衡这一状态，为进一步研究做好铺垫。］

三、探究新知 活动一：感知平衡

1、出示天平，左右托盘内均放着50克砝码，天平处于平衡状态。 教师提问：现在，就请同学们看一看老师的天平，仔细观察天平的状态，说一说，你发现了什么？

2、学生交流。

3、教师小结：看来，天平的左右两边都是50克的砝码，此时，就存在着一种平衡的关系。这种平衡的关系，就使得左右砝码的质量画上了等号。看，我这儿有一些小米，我把它放进左边的托盘内，天平会怎样？

4、实际操作，引导学生用一个比较简便的方式表示出小米和砝码之间的关系。

5、调节砝码使天平再次平衡，并分别用式子表示。

［设计意图：天平的二次呈现，目的是让学生通过自己的方式来描述等量关系，从而使得学生产生用字母表示未知数的需求，并且在各种方法的比较中，让学生发现用含字母的等式来表示等量关系的优越性，为下一步教学打下基础。］

活动二： 分类，认识等式和方程

1、出示天平示意图，学生写式子。

2、师：刚才我们通过操作和观察示意图得到了这么多的式子，那么你能用你喜欢的方法把它们分类吗？

3、学生分类。

4、学生汇报不同的分类方法并贴在黑板上。

5、教师梳理：综合学生的分类标准，介绍等式和方程的概念，形成板书。

［设计意图：学生在观察的基础上，引导学生对式子进行比较、综合、分析，让学生根据不同的标准将这些式子分成几两类，然后不失时机地指出综合学生的分类标准，从不同的维度深入领会等式和方程的内涵，抽象概括出概念的本质属性，从而内化方程的概念。这样既清晰明了地揭示出概念的差别，又沟通了不同概念之间的内在联系。同时，分类比较的过程将方程这一数学知识发生发展的过程与数学认知过程自然地融合在一起，也效地渗透了分类的数学思想。］

6、教师提问：请同学们仔细观察这一类式子（左上角的式子），并且画上红色。它们具备怎样的特点？

学生汇报，相机介绍方程的概念。

7、教师总结：同学们真了不起，你们说的和数学家给出的定义一模一样，出示方程的含义。（指名两名同学读）看来数学并不难，只要我们去发现，去探索，所有问题都会迎刃而解。

8、播放录音：方程的数学史。

［设计意图：在数学教学中渗透数学史，有利于帮助学生加深对数学概念、方法、思想的理解；有利于帮助学生体会活的数学创造过程培养学生的创造性思维能力；有利于激发学生学习数学的兴趣学习数学家们锲而不舍的精神。］

三、深化概念、实际应用

1.、试一试：判断下面的式子，哪些是方程？哪些不是方程？为什么？

师：通过这几道题的练习，你对方程有了哪些新的认识？谁能用自己的话说说方程与等式的关系？并用集合图表示。

2、看图列出方程。

引导学生根据同一幅图列出不同的方程。

3、完成三四题。

四、课堂总结。

1、学生通过这节课谈收获。

2、教师总结：其实，在数学的世界，还有好多我们没见过的方程。（出示课件）它们带领着人们探索更多的未知世界，把许多的未知慢慢的变成已知。就让我们带着对方程的好奇，去探索更多的数学奥秘吧！

［设计意图：呈现更多的方程，激发学生学习的欲望，为学生的后续学习作适当地铺垫。］

三、课后系统部分——教学后记 本课所体现的教育理念是要让学生在广泛的探究时空中，在民主平等、轻松愉悦的氛围里，应用已有知识经验，通过观察比较、质疑问难、释疑解惑、合作交流，理解并掌握方程的意义，知道等式和方程之间的关系，并能进行辨析。使学生学会用方程表示具体甚或情境中的等量关系，进一步感受数学与生活之间的密切联系。同时提高学生的观察能力、分析能力和解决实际问题的能力。初步建立分类的思想。

这节课改变了传统的教法，从天平的平衡与不平衡引出等式，通过教师的引导，让学生去动脑筋思考，展示了学习的过程。学习的整个过程符合儿童认知发展的一般规律。从生活实际引进学生已有生活的经验，很自然地想到两种不同情况，并用式子表示，引出等式；其中有含有未知数、不含未知数的两种形式。体现“生活中有数学，数学可以展现生活”这一大众数学观，也体现了科学的本质是“来源于生活，运用于生活”。通过观察，探寻式子特点，再把这些式子进行两次分类，在分类中得出方程的意义，也看出了构成方程的两个条件，反映了认识事物从具体到抽象的一般过程。其中的观察、比较、分类，也是人类学习的基本手段、方法。

信任学生，充分发挥主体积极性。在教学过程中，放手让学生把各自的想法用式子表示出来，展示学生的学习成果；学习小组互相交流、检查，体现了学习的自主性；学习的过程、结果也由学生自己来体验、评价，大大激发了学生学习的积极性。

创新是永恒的，数学教学需要不断的革新，这样的课堂教学体现了当前小学数学课程改革和课堂教学改革的精神，注重从学生的生活实际出发引导学生大量收集反映现实生活的“式子”，初步建立式子的观念；再组织学生对这些式子进行比较、分类，逐步了解等式的意义；最后在对等式的去粗取精，对选定的素材通过观察、比较，明确方程的所有本质属性。本课注重了概念教学的一般要求，对方程这一概念的本质属性的探索全部由学生主动进行，注重呈现形式，从细微之处显示出教学的风格。

证明等式成立的方法篇十二

“应用等式的性质解方程，较好地解决了关于方程解法的中、小学衔接的问题。教材改变了在小学阶段利用四则运算的互逆关系及相关运算律解方程的传统做法，引入了等式的性质，并应用等式的性质解方程。为了帮助学生应用等式的性质解方程，教材作了精心的安排。”（《教师教学用书》第10页“教材说明和教学建议”。

对方程教学引入了等式的性质并应用等式的性质解方程的这一改法是否妥当，专家自有专家的说法，因为他们可以冠以“衔接教材”，还可以为之“精心安排”，这是我们所做不到的，也是无法改变的，我们能做到的至多也就是把实际教学中对教材的一些感受，拿出来晒晒，一吐为快。

在这一小节的教学中，尴尬难忍的场面让我对教材真的无话可说。

【情境回放】师生共同解决完一个练习题后，考虑到充分利用教学资源，师向学生抛出了一个问题：“你还能提出什么样的问题？试着用方程做做看。”

问题出现了。交流时一位学生说：“小军跳高成绩是1.45米（刚解答出的结果，学生就用上了），比第二名小明成绩多0.04米(这个数据是学生自己想的)。小明的跳高成绩是多少米？”且学生有了如下的解法（黑板板演）

小军的成绩－小明的成绩=0.04

解：设小明的跳高成绩为x米。

1.45－x=0.04

1.45－x－1.45=0.04－1.45

写到此，学生一愣一愣地望着我，面对学生我只好尴尬地笑笑，便让学生上位。学生编的题目提的问题没错，列的方程也没错，可就是这个等式的性质在这里却用不上了。为了避免纠缠不清的问题，我只好帮助学生另辟蹊径，重新寻找等量关系式：小明的成绩＋0.04=小军的成绩。生根据等量关系式列出方程x＋0.04=1.45，很快求出x的值。

〖反思这样的尴尬场面真的让人为难，让人难堪。学生显然没有按照编教材的专家学者的套路去出牌，违反了游戏规则碰壁也就难免了，不过这个规则是大人们定的，对孩子确实有些苛刻了。但如果按以前教材“四则运算互逆关系”来解决此题，这也就不算事了，纵观整个教材，编者确实是“精心编排”，教材中没有出现类似的方程，教材真的是和“四则运算互逆关系”划清界限，师自是不便向学生讲解了。

划清界限也就罢了，继续想教材习题中等量关系的呈现，我想学生的想法一定程度上受到了教材中“小军的成绩－小刚的成绩=0.06米”的干扰，于是也出现了类似的等量关系式，如果教材中呈现的是“小军的成绩-0.06米=小刚的成绩”，这位学生又该会怎样去想呢，也许就不会出现这种尴尬的场面。

话又说回来，即便这样尴尬的场面还是无法避免的，因为一个人的思想你是无法控制的。比如教材练习二第10题：“每平方米阔叶林一天能释放氧气75克，是每平方米草地所释放氧气的5倍。每平方米草地一天能释放氧气多少克？”就有不少学生根据“每平方米阔叶林一天释放氧气÷每平方米草地一天释放氧气=5”，列出方程75÷x=5。越是想回避的就越容易出现，看样“掩耳盗铃”的做法不可取。

尴尬的场面是人为的，面对这样的场面我无语。

但我想，“四则运算的互逆关系”我是非讲不可了，因为，我不敢拿学生的成绩开玩笑，做试验，这样重复有效的劳动我还是乐意去做的。

证明等式成立的方法篇十三

摘 要

矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，它具有许多的重要性质.本文总结归纳出了有关矩阵的秩的等式和不等式命题，以及证明这些命题常用的证明方法，即从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.本文主要解决以下几个问题：用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题；用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.-i

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第一章 绪论

矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，是矩阵理论中研究的一个重要内容，它具有许多的重要性质.研究矩阵的秩对于解决矩阵的很多问题具有重要意义.矩阵的秩的等式及不等式的证明对于学习矩阵也是重点和难点，初学者在做这方面的题目往往不知如何下手.笔者归纳了矩阵的秩的常见等式和不等式以及与之相关的一些结论，并从向量组、线性方程组、矩阵分块、矩阵初等变换等角度探索了多种证明方法，它有助于学习者加深对秩的理解和知识的运用，也方便教师教学.目前对矩阵秩的研究已经比较成熟了，但是由于秩是矩阵论里的一个基本而重要的概念，它仍然有着重要的研究价值，有关它的论文时见报端.很多国内外的有关数学书籍杂志对矩阵的秩都有讲述，如苏育才、姜翠波、张跃辉在《矩阵论》（科学出版社、2006年5月出版）中较完整地给出了矩阵秩的理论.北京大学数学系前代数小组编写的《高等代数》（高等教育出版社,2003年7月出版）也介绍了秩的一些性质.但是对秩的等式及不等式的介绍都比较分散，不全面也没有系统化，不方便初学者全面掌握秩的性质.因此有必要对矩阵的秩的等式和不等式进行一个归总，便于学习和掌握.本文通过查阅文献资料，总结归纳出有关矩阵的秩的等式和不等式命题，以及证明这些命题常用的证明方法，从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.主要内容有：（1）用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；（2）用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题；（3）用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；（4）用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.-1

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第二章 预备知识

定义1矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；

矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩； 矩阵的行秩和列秩统称为矩阵的秩.定义2如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.定义3 数域p上的矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换：

（1）以数域p中的一个非零数乘以矩阵的某一行（列）；（2）把矩阵的某一行（列）的c倍加到另一行（列）；（3）互换矩阵中两行（列）的位置.定义4在一个sn矩阵a中任意选定k行和k列，位于这些选定的行列交叉点上的k2个元素按原来的次序组成的k级行列式称为a的一个k级子式.定义5设a为mn矩阵,称线性方程组ax0的解空间为a的零空间(即核空间)，记作na,即naxax0.引理1[1] 矩阵的行秩等于列秩.引理2[1] 任意两个等价的向量组必有相同的秩.引理3 n阶方阵a可逆a0.111证明:充分性:当da0,由a(a*)(a*)ae知a可逆，且a1a*.ddd必要性:如果a可逆，那么有a1使aa1e.两边取列式，得aa1e1，因而a0.引理4[1] 矩阵的秩是r的充要条件为矩阵中有一个r级子式不为0，同时所有的r1级子式全为0.引理5[1] 如果向量组可以由向量组线性表出，那么的秩不超过的秩.证明：根据已知可知向量组极大线性无关组可由的极大线性无关组线性表出，根据向量组的基本性质(见参考文献[1])可得，向量组极大线性无关组的向量个数不超过的极大线性无关组的向量个数，即的秩不超过的秩.引理6[1] 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数为nr，这里r表示系数矩阵的秩，nr也是自由未知量的个数.-2

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第三章 用矩阵的秩的理论证明秩的等式和不等式

本章主要是利用矩阵已知的秩的理论证明秩的等式和不等式问题，例如行秩等于列秩，秩为r的充要条件，常见的秩的不等式等等.要掌握并且灵活运用这些知识才能证明下面的命题.这些命题都是一些基本的命题.命题3.1 rarat．

证明：由矩阵转置的定义,a的行向量组就是at的列向量组，因此a的行秩就是at的列秩，又由引理1知rarat，命题证毕.命题3.2 rkara（其中k0）.证明：ka的行向量组可由a的行向量组线性表出，a的行向量组也可由ka的行向量组线性表出，因此ka的行向量组与a的行向量组等价.由引理2它们的秩相等，再由秩的定义知ka与a的秩相等,命题证毕.命题3.3 a是一个sn矩阵，如果p是ss可逆矩阵，q是nn可逆矩阵，那么rarparaq.证明：令bpa,由矩阵乘积的秩不超过各因子的秩可知rbra,但是由ap1a，又有rarb．

所以rarbrpa.另一个等式可以同样地证明,命题证毕.n,如ran命题3.4[2] 设a是一个n阶方阵，则ra*1,如ran1

0,如ran2.证明：若ran，由引理3，a0，知a可逆，a*aa1可逆，故ran． 若ran1，由引理4，a存在n1阶子式不为0，因此a*0,ra1，又因为aa*ae0，有rara*n，即ra*nra1，从而ra*1．

若ran2，则由引理4，a存在n1阶子式全为0，于是a*=0，即ra*0．命题证毕.从这个命题可以得出ra*ra的结论.-3

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命题3.5［３］ 设a是一个mn矩阵，任取a的s行t列,交叉处的st个元素按原来的相对位置构成st子矩阵c，则rcmnrast．

证明:设d为a的s行所构成的st子矩阵，它由c所在的s行确定.设rdd.则a的任意一个大于dms阶的子式m必须至少有d1行出现在d中.根据行列式的性质，对这个子式m按出现在d中的那些行进行拉普拉斯展开，则可以看出，这个m可以表示成d的一些阶子式的线性组合，其中k为某个大于d的数.由引理3这些子式全为零.因此任意一个大于dms阶子式m必须等于零.由秩的定义,rardms.由行与列的对称性类似地可推出rdrcnt,两式相加即可得到

rcmnrast，命题证毕.命题3.6［４］ 设a,b都是n阶矩阵,证明:rababrarb.证明:rababrabebrabebrarb，命题证毕.例3.1 设a为n阶方阵，求证必存在正整数m使得ramram1.证明:由于a为n阶方阵，则nrara2rai0,其中i为正整数,而n是有限数，上面的不等式不可能无限不等下去，因而必存在正整数m使得ramram1.例3.2设a，b都是n阶方阵，e是n阶单位矩阵，证明

raberaerbe.证明:因为abeaeabe,所以

raberaeaberaeraberaerbe.命题3.7设a为n阶矩阵，证明:如果a2e,那么raeraen.证明： 因为aeaea2aaeee0,由命题5.3知

raeraen.①

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又 raeraeraeaer2ara

而a2e，所以a21,即a0，ran.因此

raeraen.②

由①，② 可得raeraen.例3.3[5] 设a,b为n阶方阵,且aba=b1,则reabreabn.证明:因为abab1,所以ab2e.由命题3.7知

raberaben(1)由 reabrabe，reabrabe(2)由(1),(2)知有reabreabn成立.例3.4设a为n阶矩阵,且a2a,证明raraen.证明：由a2a，可得 aae0.raraen ①

又因为ea和ae 有相同的秩,所以

nreraeararea ②

由①，② 可得raraen.-5

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第四章 用线性空间的理论证明秩的等式和不等式

本章主要是利用线性空间的维数公式，同构，直和分解，核与值域的一些性质和定理来证明矩阵的一些秩的等式和不等式命题.线性空间和线性变换的知识本来就比较抽象，还要和矩阵的联系起来，是有一定的难度的.这其中要构造一些映射．

命题4.1 a设为n阶方阵，如果a的列向量所生成的rn的子空间ra与a的零空间（即核空间）na的直和为rn，则rara2.证明:根据引理6，要证rara2，只要证ax0与a2x0同解．

ax0的解显然为方程组a2x0的解.下面我们用反证法证明a2x0的任一解y同时也是a2x0的解.若ay0，因aay0,故ayna.另一方面，ayyiira，其中

i1na1,2,,n，yy1,y2,,yn, 从而 0ayrana, 这与rnrana矛盾,所以a2x0的任一解同时也是ax0的解,于是它们同解,故rara2.命题4.2 设a为mn矩阵，b为n1矩阵，证明sylrester公式：

tra+rb-nrab.证明:设a为mn矩阵，b为n1矩阵, x1y1abx0(1)考虑x，y, 方程组bx0(2), xy(3)ay0nn设（1）（2）（3）的解空间分别为vab，vb，va，则dimvanra，将三者联系起来，作bxxvab，则它为va的子空间，从而

dimbxxvabdimvanra，-6

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又vb为vab的子空间，作：

vabvbw

一方面dimwdimvabdimvb1rab1rbrbrab 下证wbxxvab

定义 f:wbxxvab

fb

易知这个映射是单满的，并且满足线性运算条件，dimbxxvabrbrab

但上面：

dimbxxvabdimvanra.因此 nrarbrab，即 rarbnrab．

命题4.3 设a为mn，b为nm矩阵，abba．证rabrarbrab． 证明:设w1,w2,w3,w4分别为a,b,ab,ab行空间,那么

dimw1ra, dimw2rb dimw3rab, dimw4rab

由于w3w1w2,并由维数公式得: dimw3dimw1w2dimw1dimw2dimw1w2即得: rabrarbdimw1w2(1)由于ab的行向量是b的行向量的线性组合,所以有w4w2,又abba,所以有w4w1,因此有w4w1w2,所以有

rabdimw1w2(2).-7

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将(2)代入(1)即得: rabrarbrab.命题4.4 若rabrb，证明rabcrbc.证明：设方程组abx0与bx0的解空间分别为vab，vb.若rabrb，则根据引理6知dimvabdimvb

① 又因为满足bx0解向量也满足abx0,所以vabvb

② 由① ②可推出vabvb.要证rabcrbc，只要证abcx0与bcx0同解.设方程组abcx0与bcx0的解空间分别为vabc，vbc.显然vabcvbc,只要证vabcvbc.由abcx0知cxvabvb,即bcx0，因此vabcvbc，命题得证.此例是一个有价值的结论.例4.1 n阶矩阵a满足a2a当且仅当raraen.12a0 1证明：先证明必要性.由aa知a相似于形如0的对角阵，其中1的个数为ra,又ea与ea0相似，从而有相同的秩，而

1，ea010其中0的个数为a的秩，1的个数nra.所以

rareararea0ranra0.充分性.只要证明对任意x均有a2xax即可.由rarean说

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明,ax10的解空间v1与eax20的解空间v2满足v1v2rn,从而对任意x存在唯一分解

xx1x2其中x1v1x2v2,所以

a2xa2x1x2aax1aax20aax20x2ax1ax2ax1x2

ax

综上即证a2a.命题4.5设a,b分别是mm,mn矩阵，其中a为可逆矩阵,证明r(ab)r(b).证明：设abq,a(1,2,...,m),b(1,2,...,n),q(1,2,...,n)，则(1,2,...,m)11,(1,2,...,m)22,...,(1,2,...,m)nn 因为a为可逆矩阵，秩为m，故可将(1,2,...,m)看做m维线性空间的一组基，则向量1,2,...,n在这组基下的坐标向量分别为1,2,...,n.作

l(1,2,...,n),l(1,2,...,n)，在这两个线性空间中构造映射，将l(1,2,...,n)中的每个向量映射到在基(1,2,...,m)下的坐标向量，这个映射是一个同构映射，因此l(1,2,...,n),l(1,2,...,n)这两个线性空间同构，所以

dim(l(1,2,...,n))dim(l(1,2,...,n))，而dim(l(1,2,...,n))r(b),dim(l(1,2,...,n))r(ab).所以r(ab)r(b).同理可证明当b为可逆矩阵时,r(ab)r(a).这章主要是利用线性空间和线性变换的一些知识来证明矩阵的秩的等式和不等式命题，难点在于要好好理解线性空间和线性变换的一些知识，重要定理和性质，再把握它们同矩阵的联系.-9

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第五章 用向量组秩的理论证明秩的等式和不等式

本章主要利用向量组的秩和极大线性无关组的一些知识，以及线性方程组的解空间的维数和系数矩阵的秩的关系来证明秩的等式和不等式.b是mp矩阵,则ra或rbrabrarb.命题5.1设a是mn矩阵，证明：ab列向量组向量的个数比a和b多，所以ra或rbrab． 下面证明rabrarb.不妨设ai1,ai2,air1与bj1,bj2,bjr2分别是a与b的列向量组的极大线性无关组,则ab的每个列向量均可用向量组

ai1,ai2,air1,bj1,bj2,bjr2

线性表出,根据引理5可知

rabrai1,ai2,air1,bj1,bj2,bjr2r1r2rarb.命题证毕.命题5.2设a,b是mn矩阵，rarbrabrarb.证明：先证明rabrarb.设

aa1,a2,anbb1,b2,bn，则

aba1b1,a2b2,anbn.不妨设ai1,ai2,air1与bj1,bj2,bjr2分别是a与b的列向量组的极大线性无关组，则有

ask1ai1k2ai2kr1air1s1,2,,n

bsl1bi1l2bi2lr2bir2

asbsk1ai1k2ai2kr1air1l1bi1l2bi2lr2bir2

即ab的列向量可以由ai1,ai2,air1,bj1,bj2,bjr2线性表出，由引理5知

rabrai1,ai2,air1,bj1,bj2,bjr2r1r2rarb.-10

-湖南科技大学2011届本科生毕业论文

再证明rarbrab.由刚证明的结论rabrarb可知

rarabbrabrbrabrb, 移项得到

rarbrab, 同理可得rbrarab,因此rarbrab.综上所述我们证明了rarbrabrarb，对于rarbrabrarb，只要把以上证明过程的b改成b即可得证，命题证毕.由命题3.1rarat,命题3.2rkara（其中k0）和本命题可推知

rkalbrarb（其中kl0）.例5.1设a,b是mn矩阵,证明:rabrab.证明:先证明rabrab.设aa1,a2,an bb1,b2,bn, 则aba1b1,a2b2,anbn aba1,a2,an,b1,b2,bn.不妨设ai1,ai2,air1与bj1,bj2,bjr2分别是a与b的列向量组的极大线性无关组，则有

ask1ai1k2ai2kr1air1s1,2,,n

bsl1bi1l2bi2lr2bir2

asbsk1ai1k2ai2kr1air1l1bi1l2bi2lr2bir2

即ab的列向量可以由ai1,ai2,air1,bj1,bj2,bjr2线性表出,由于

ai1,ai2,air1,bj1,bj2,bjr2

也是来自于ab的列向量组的向量,所以ab的列向量也可以由ab的列向量组线性表出,根据引理5可知rabrab.对于rabrab, 只要把以上证

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明过程的b改成b即可得证，命题证毕.命题5.3设a是mn矩阵，b是np矩阵，如果ab0，则rarbn.证明：设 bb1,b2,,bp，则abab1,ab2,,abp0.故有ab1ab2abp0,即齐次方程组ax0有p个解b1,b2,,bp.若rar，则根据引理6,b1,b2,,bp可由nr个解向量组成的基础解系线性表出.根据引理5有rbnr,rarbrnrn,命题证毕.例5.2 a是mn矩阵，则rataraatrarat.证明：由命题3.1知rarat.下面我们先证明ratara.只要证明atax0与ax0同解便可得到ratara.一方面，满足ax0解向量也满足atax0；

另一方面，由atax0两边同时左乘xt得到xtatax0，即axtax0，k1t20,所以ki0i1,2,,n，ax0，设ax,那么axaxk12knkn满足atax0的解也满足ax0．

综上所述atax0与ax0同解,解空间的维数相等，由系数矩阵的秩与线性方程解空间的维数之间的关系可知

nratanra，ratara.对raatrat证明过程与此类似，所以rataraatrarat，命题证毕.例5.3 证明：若线性方程组ax0的解均为bx0的解，则rarb.证明：设方程组ax0与bx0的解空间分别为va,vb，若线性方程组ax0的解均为bx0的解，则

vavb,dimvadimvb-12

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根据引理6有nranrb,即rarb，命题得证.例5.4设a为mn矩阵，b为n1矩阵，证明abx0与bx0同解的充分必要条件为rabrb.证明：设方程组abx0,bx0解空间分别为vab,vb.必要性：若vabvb，dimvabdimvb,根据引理6可知

nrabnrb, 可以推出rabrb.充分性：若rabrb，则根据引理6知

dimvabdimvb ①

又因为满足bx0解向量也满足abx0,所以

vabvb ②

由① ②可推出vabvb.命题证毕.命题5.4设a是数域p上nm矩阵，b是数域p上ms矩阵，证明rabminra,rb即矩阵乘积的秩不超过各因子的秩.证明: 构造齐次线性方程组abx0与bx0,设方程组abx0与bx0的解空间分别为vab,vb.显然，满足bx0解向量也满足abx0,所以vabvb,dimvabdimvb, 根据引理6知rabrb.再构造齐次线性方程组btatx0与atx0，同理可得rbtatrat,即rabra.综上所述rabminra,rb.此命题用归纳法可以推广为：如果aa1a2am那么秩(a)min秩(aj).1jm例5.4 如果mn方程组ax0的解为方程b1x1b2x2bnxn0的解，其中

axx1,x2,,xn，求证rra.b,b,,bn12-13

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a证明：由已知可知ax0与x0同解，根据引理6它们的系数矩阵

b1,b2,,bna的秩相等,所以 rra.b,b,,bn12-14

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第六章 用矩阵分块法证明秩的等式和不等式

本章主要是利用矩阵分块的方法来证明矩阵的秩的等式和不等式，也包括矩阵分解的方法证明秩的等式和不等式，涉及到了矩阵的广义初等变换和广义初等矩阵.例6.1[4] 设a是数域p上nm矩阵，b是数域p上ms矩阵，求证rabminra,rb,即矩阵乘积的秩不超过各因子的秩．

a11a12aa证明：设a2122an1an2a1mb11ba2m，b21banmm1

b12b1sb22b2s

bm2bms令b1,b2,,bm表示b的行向量，c1,c2,,cn表示cab的行向量。由于ci的第j个分量和ai1b1ai2b2aimbm的第j个分量都等于aikbkj，因而

k1mciai1b1ai2b2aimbm(i1,2,,n)，即矩阵ab的行向量组c1,c2,,cn可经b的行向量组线性表出,所以ab的秩不超过b的秩，即rabrb.同样，令a1,a2,,am表示a的列向量，d1,d2,,ds表示cab的列向量，则有

dib1ia1b2ia2bmiam(i1,2,,s).ab的列向量组可经矩阵a的列向量组线性表出，所以rabra，也就是

rabminra,rb.例6.2设a，b都是n阶方阵，e是n阶单位矩阵，求证

raberaerbe.ae证明:因为0bebeb0abe0, e0be0ber(ae)r(be).beabe0ae故r(abe)rrbe00因此raberaerbe.-15

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命题6.1设a，b是mn矩阵，则rabrarb.a0证明：构造分块矩阵，对其施行用广义初等变换可得

0ba0abaab.0b0b0b根据初等变换不改变矩阵的秩可以推出

a0aababrrrrab

①

b0b0ba0又由于 rrab

②

0b由①,②即得

rabrarb.命题6.2[2]

设a，b分别为sn,nm矩阵,则rarbnrab.0ene证明:由naesa可推出

ben00benem00en0en，且，abaes0b可逆emernaen但rabenr000renrabnrab.abbrarb,即 0nrabrarb.所以rarbnrab.这个公式代数里称为sylverster(薛尔佛斯特)公式.命题6.3设a，b分别为sn,nm矩阵,则rarbnrab的充要条件为

a0a0rr.eb0beaa0eb0abeb0ab证明:由，b0ee00eeb0ee-16

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根据矩阵秩的性质，可以得到等式

a00abrrrabn ① ebeba0而 rrarb

②

0ba0a0充分性：若rr，由① ②可知rabnrarb，即

eb0brarbnrab.必要性：若rarbnrab则rabnrarb, 由① ②可知

a0a0rr.eb0b综上所述,命题得证.例6.3 设a，b分别为sn,nm矩阵,则rarbnrab的充分必要条件为存在矩阵x，y，使得xabyen.证明：由上一个命题可知rarbnrab的充要条件为

a0a0a0a0rr，那么我们只要证明rr的充要条件为存在矩阵eb0beb0bx，y，使得xabyen，即可完成本命题的证明.下面就此进行证明.充分性.e由m-x0aenen0enb-y0aem-ax0enb-y0aemen-xa-by0 ba0a0可知当xabyen时，rr.eb0b再根据命题6.3可推出等式

rarbnrab.必要性.er设 p1aq100es,p2bq200-17

0, 0湖南科技大学2011届本科生毕业论文

其中p1,p均为可逆矩阵.2,q1,q2p则 10er0000a0q10p0q10p1a1aq10q0pb0q0p20b22200000es000000p2bq2

01

p2bq2 00a0q10p0q10pp11a1aq10qppb0qpq0peb2222221er0c1c300c2c400es000002

对式（2）右端的方阵作行初等变换，可消去c1，c2，c3.若

rarbnrab，a0a0根据命题6.3有r，式（2）右端方阵秩相等，故r，因此式（1）eb0bf1为在消去c1，c2，c3时也消去了c4，对式（2）右端分块记c0 其中 f2erf100es，f2000c1c2c ，cc043.于是上述消去c1的行变换相当于

c10er0000c1c200c3c4c3c2 c4,消去其余c2,c3,c4有类似的结果，这样初等变换就相当于存在矩阵s，t，使

sf1+f2t+c=0,即spaq11p2bq2tpq210，进行变形整理,从而有

p121sp1abq2tq1en.11令xp,，便得到xabyen，命题得证.2sp1yq2tq1-18

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命题6.4设a1,a2,,ap都是n阶矩阵，a1a2ap0.证明:这p个矩阵秩之和不大于p1n.这p个矩阵秩之和不大于p1n.证明：由命题6.2的sylverster(薛尔佛斯特)公式可得

0ra1a2apra1ra2apnra1ra2ra3ap2nra1ra2rapp1n，移项即得

ra1ra2rapp1n.例6.4设a,b，c依次为sn，nm，mt的矩阵,证明

rabcrabrbcrb.证明:设rbr,那么存在n阶可逆矩阵p，m阶可逆矩阵q，使得

ebpr0把p，q适当分块pm0q ① 0ns,q，其中m为nr矩阵,n为rm矩阵．

t0nmn.0t由①式有bmesr0所以rabcramnc,再由命题6.2的sylverster(薛尔佛斯特)公式可得

rabcramncramrncrramnrmncrb

rabrbcrb, 从而rabcrabrbcrb,命题得证.这个公式也称为frobenius(佛罗扁尼斯)公式.例6.5 设b为rs矩阵，a为秩为r的mr的列满秩矩阵mr,c为秩为s的st的行满秩矩阵st,证明:rabrbcrb．证明:先证明rabrb.-19

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e因为rar,所以存在m阶可逆矩阵p和r阶可逆矩阵q，使得paqr,即

0er1q1paq，00再根据矩阵乘以可逆矩阵不改变秩的大小可得

q1q1brabrpabrbrrq1brb.00同理可证rbcrb.因此有rabrbcrb,命题得证.命题6.5设a,b，c分别为sn，nm，mt矩阵,rbr,而b的一个满秩分解mr是bhl，即h是列满秩矩阵,l是行满秩矩阵,则

rabcrabrbcrb的充要条件是存在矩阵x,y,使得

xahlcyer.证明：因为bhl是满秩分解,h是列满秩矩阵,l 是行满秩矩阵,所以根据例题6.5有

rabrahlrbc和rbcrhlcrlc, 则

rabcrabrbcrbrahlcrabhrlcr.又由例题6.3得

rahlcrabhrlcr矩阵x,y使得 xahlcyer, 命题得证.这是例题6.4 frobenius(佛罗扁尼斯)公式等号成立的充要条件.例6.6证明:ra3ra2ra2.证明:由例题6.4的sylverster(薛尔佛斯特)公式可知

ra3raaara2ra2ra.移项即ra3ra2ra2得,命题得证.例6.7设a，c均为mn矩阵b，d均为ns矩阵，证明

rabcdracrbd.-20

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证明：根据分块矩阵的乘法可知

em0cac0enenbd00baces0abcd

bdac由此易知racrbd0abcdr(abcd)，bd从而得到rabcdracrbd,命题得证.例6.8设a,b都是nn矩阵，如果ab0，则rarbn.be证明:构造分块矩阵，对其做初等变换

0aebe0ebeb 0aab00000be0ebe可推出r,但rnrrarb,所以rarbn.0a000a这个命题的一般形式为：设a是mn矩阵，b是np矩阵，如果ab0，则rarbn,已经在命题5.3中用线性方程组的解空间的维数与系数矩阵的秩的关系方法证明了.本命题只是它的特殊形式.例6.9设q为k阶方阵，m，n为非负整数，则（1）rqnrqm2nrqmnrq2n（2）rqmrqm2n2rqmn

证明：（1）设aqm,bqn,cqn由佛罗扁尼斯（frobenius）不等式，rqm2nrqmnrq2nrqn，即得：

rqnrqm2nrqmnrq2n

（2）设aqn,bqm,cqn由佛罗扁尼斯（frobenius）不等式，rqm2nrabrbcrb，即得：

rqmrqm2n2rqmn.-21

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命题6.6设a为n矩阵，则renaaresaans.es 证明:0aesaes0esaa0 enaenaen0enesa 由命题3.3，则rresaan.aene同理rsaarenaas.所以 renaaresaan矩阵的分块是种有效的解决矩阵有关问题的方法，值得好好体会.尤其是有些难题，矩阵分块是简便分方法.本章利用矩阵分块的方法证明了一些典型的矩阵等式和不等式命题，很有借鉴意义.-22

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第七章 小结

矩阵的秩的等式、不等式的证明及它应用非常广泛。在本文中，主要讨论了矩阵的秩，以及它的等式及不等式命题的证明方法，较之前的研究，更加全面。文中讨论了利用线性空间同构、向量组维数理论及矩阵分块等一些理论来证明了矩阵的秩的等式、不等式的相关命题。运用这些方法，我们可以更加快捷的判断矩阵的秩是否相等，或者证明不同矩阵的秩之间的联系，有了这些方法和结论，就可以将矩阵的秩的等式及不等式的命题更好的应用到实际中来。当然，对于矩阵秩的研究，虽然本人已经进行了充分的搜集、总结及研究，但是，仍会有不足之处，对于它的研究以及应用仍然不够，这一点将是我们以后必须致力研究的工作。

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参考文献

[1] 北京大学数学系前代数小组.高等代数[m].北京:高等教育出版社,2003.[2] 钱吉林.高等代数题解精粹修订版[m].北京:中央民族大学出版社,2006.[3] 苏育才,姜翠波,张跃辉.矩阵理论[m].北京:科学出版社,2006.[4] 同济大学数学系.线性代数第五版[m].北京:高等教育出版社,2007.[5] 王宝存.运用az=q证明矩阵秩的不等式与等式[j].淮南师专学报,2000,2(3):90-91.-24

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致

谢

从论文选题到搜集资料，从提纲的完成到正文的反复修改，我经历了喜悦、聒噪、痛苦和彷徨，在写作论文的过程中，心情是如此复杂。如今，伴随着这篇毕业论文的最终成稿，复杂的心情烟消云散，自己甚至还有一点成就感。

我要感谢我的导师李世群老师。她为人随和热情，治学严谨细心。从选题、定题、撰写提纲，到论文的反复修改、润色直至定稿，李老师始终认真负责地给予我深刻而细致地指导。在论文写作期间，李老师多次对我作一对一的指导，对我的论文写作的方向提出了宝贵的建议。正是有了李老师的无私帮助与热忱鼓励，我的毕业论文才得以顺利完成。

在此，我还要感谢大学四年中我的任课教师，是他们让我学到了许多丰富的数学知识，才使我今天有能力来完成这项艰巨的任务。

最后还要感谢四年里陪伴我的同学、朋友们，有了他们我的人生才丰富，有了他们我在奋斗的路上才不孤独。感谢他们在论文排版和设计上都给我很多宝贵意见和建议，让我能够做的更好，谢谢他们。