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2014 年硕士研究生入学考试大纲
考试科目名称：高等代数
一、 考试要求：
1.一元多项式理论：
① 掌握多项式的整除理论；
② 会求最大公因式与最小公倍式；
③ 掌握复系数、实系数与有理系数多项式的因式分解理论。
2.行列式理论：
① 理解行列式的定义、熟悉行列式的性质；
② 掌握有特殊结构的 n 阶行列式的计算；
③ 会用 Laplace 展开定理。
3. 线性方程组理论：
① 会用 Cramer 法则进行方程组求解；
② 掌握向量的线性相关与线性无关的定义及判别；
③ 掌握线性方程组有解的判别法；
④ 掌握线性方程组解的结构。
4. 矩阵理论：
① 熟悉矩阵的各种运算与运算律；
② 会求矩阵的逆；
③ 理解矩阵分块与分块矩阵；
④ 掌握初等矩阵的性质与基本用法；
5. 二次型理论：
①掌握二次型的化简与标准型；
②掌握正定、半正定矩阵的定义与基本性质；
③熟悉惯性定理。
6. 线性空间理论：
① 掌握线性空间的基底和维数的定义与性质；
② 掌握线性空间基变换与坐标变换；
③ 掌握子空间以及它们的交与直和的性质；
④ 理解线性空间的同构。
7. 线性变换理论：
① 掌握线性变换的运算及其矩阵表示；
② 会求线性变换与矩阵的特征值与特征向量；
③ 掌握相似矩阵与某些矩阵的对角化；
④ 掌握线性变换的值域与核及其性质；
⑤ 理解不变子空间；
⑥ 了解矩阵的 Jordan 标准形。
8. 欧式空间理论：
① 掌握内积空间与欧式空间的定义与性质；
② 掌握正交变换与正交矩阵的性质；
③ 理解对称变换；
④ 掌握实对称矩阵及其对角化理论。
二、考试内容：
1) 一元多项式理论
a: 多项式的整除，
b: 最大公因式与最小公倍式，
c: 复系数、实系数与有理系数多项式的因式分解理论。
2) 行列式
a: 行列式的定义、性质与计算，
b: Laplace 展开定理。
3) 线性方程组理论
a: Cramer 法则，
b: 线性相关与线性无关，
c: 线性方程组有解的判别，
d: 线性方程组解的结构。
4) 矩阵
a: 矩阵的各种运算与运算律，
b: 矩阵的逆，
c: 分块矩阵，
d: 初等矩阵，
5) 二次型
a: 二次型的化简与标准型，
b: 正定二次型与正定矩阵，半定阵。
6) 线性空间
a: 线性空间的基底和维数，
b: 基变换与坐标变换，
c: 子空间以及它们的交与直和，
d: 线性空间的同构。
7) 线性变换
a: 线性变换的运算及其矩阵，
b: 线性变换与矩阵的特征值与特征向量，
c: 相似矩阵与对角化，
d: 线性变换的值域与核，
e: 不变子空间，
f: Jordan 标准形。
8) 欧式空间
a: 内积空间与欧式空间，
b: 正交变换与正交矩阵，
c: 对称变换和实对称矩阵。
三、 试卷结构：
a) 考试时间：180 分钟，满分：150 分
b) 题型结构
a:基本概念与理论（含填空、选择或判断题）(约 30 分)
b:证明题(约 70 分)
c:计算题(约 50 分)
四、参考书目
《高等代数》，北京大学数学系几何与代数教研室编，高等教育出版社，2003 年 7 月，
第三版．
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计算数学系
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