在日常学习、工作或生活中，大家总少不了接触作文或者范文吧，通过文章可以把我们那些零零散散的思想，聚集在一块。写范文的时候需要注意什么呢？有哪些格式需要注意呢？接下来小编就给大家介绍一下优秀的范文该怎么写，我们一起来看一看吧。
证明函数可导性例题 证明函数可导一定连续篇一
◎李思阳本溪市机电工程学校 117022
【内容简要】构造辅助函数，把不等式证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式。而如何构造一个可导函数，是用导数证明不等式的关键。本文从热门的高考题及模拟题中选出四种类型题供师生们参考。
【关键词】构造辅助函数；导数；不等式。
一．直接作差
1（2011·辽宁文科）设函数f(x)xax2blnx，曲线yf(x)过p（1，0），且在p点处的切线斜率为2.（1）求a，b的值；
（2）证明：f(x)2x2。
（1）解：f(x)=1+2ax1a0b.由已知条件得f(1)0，f(1)=2，即 x12ab2
解得a1。
b3
(2)证明:因为f(x)的定义域为（0，+∞），由（1）知f(x)xx23lnx。
设g(x)f(x)(2x2)=2xx3lnx，则g(x)=12x23(x1)(2x3)=。xx
当0＜x＜1时，g(x)＞0，当x＞1时，g(x)＜0。
所以g(x)在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递减。而g(1)=0，故当x＞0时，g(x)≤0，即f(x)2x2。
总结：直接作差g(x)f(x)(2x2)，用导数得gmax(x)g(1)=0，从而得证。直接作差是证这类题最常用的方法。
二．分离函数
2.（2011·课标全国卷文科）已知函数f(x)
处的切线方程为x2y30。
（1）求a，b的值；
（2）证明：当x＞0，且x1时，f(x)＞
(1)解:略a1，b1。alnxb，曲线yf(x)在点（1，f(1)）x1xlnx。x1
lnx1lnx1x21，所以f(x)(2lnx)。（2）证明：由（1）知f(x)=x1xx11x2x
x21考虑函数h(x)=2lnx（x＞0），则 x
22x2(x21)(x1)2
=。h(x)=22xxx
所以当x1时，h(x)＜0，而h(1)0
当x∈（0，1）时，h(x)＞0，可得，故 1h(x)＞0； 21x
1h(x)＞0。当x∈（1，+∞）时，h(x)＜0，可得1x2
lnx从而当x＞0，且x1时，f(x)＞。x1
总结：作差后的函数如可分为两个函数的积，直接求导很繁，可取其中一个函数求导，再讨论证明。
三．巧妙变形
3.（2010·辽宁文科）已知函数f(x)(a1)lnxax21。
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）设a2，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），f(x1)f(x2)4x1x2。解：（1）略。
（2）不妨设x1≥x2，由于a2，故f(x)在（0，+∞）减少。所以
f(x1)f(x2)4x1x2等价于f(x2)f(x1)≥x1-x2，即f(x2)x2≥f(x1)x1。
a12ax24xa12ax4=令g(x)f(x)x，则g(x)=。于是 xx
4x24x1(2x1)2
g(x)≤≤0。xx
从而g(x)在（0，+∞）单调减少，故g(x1)≤g(x2)。即f(x1)x1≤f(x2)x2，故，对任意x1，x2∈（0，+∞），f(x1)f(x2)4x1x2。
总结：通过等价变形，构造函数g(x)，利用g(x)的单调性得证。
四．作函数积
12。exex
1212证明: 对任意的x（0，﹢∞），lnx1＞xx(lnx1)>x(x)exexee
x2设函数f(x)=xlnxx，g(x)=x+。ee
111f(x)=lnx2，f(x)=0，得x2，易知fmin(x)=f(2)=—2。eee4.（2011·本溪一中模拟）对任意的x（0，﹢∞），求证：lnx1＞
1exxex
，=0，得1，易知==。g(1)g(x)=g(x)g(x)xmaxee2x
11，∴fmin(x)＞gmax(x)，∴f(x)g(x)。ee2
x212∴xlnxxx+。因此lnx1＞x。exeee∵
总结：直接做不好做，不等式两边同乘以一个函数，先进行证明，得到结果后再同除以这个函数，从而证得。
证明函数可导性例题 证明函数可导一定连续篇二
1.讨论函数f(x)2.已知f(x)x1,x1在x1处的连续性。
1x,x12x,x1在x1处的连续，试求a值。
axb,x1ex,x03.设函数f(x)在x0处的连续，试求a值。
ax,x04.讨论函数f(x)x,x0在x0处的连续性和可导性。
x,x0sinx,x05.设函数f(x)，求f(0)。
x,x01xarctan,x06.证明函数f(x)在x0处的连续但不可导。x0,x01sinx)a2,x0b（7.确定a.与b的值，使f(x)在x0处可导。axe1,x0x2,x08.已知函数f(x)，求f(0)及f(0)又f(0)是否存在？
x,x0x2,x09.设函数f(x)a,x0，则a为何值时f(x)在x0处的连续，并讨x,x0论此时函数在x0处是否可导。
x2,x310.确定a.与b的值，使f(x)在x3处可导。
axb,x3
