作为一位杰出的老师,编写教案是必不可少的,教案有助于顺利而有效地开展教学活动。写教案的时候需要注意什么呢?有哪些格式需要注意呢?下面是小编带来的优秀教案范文,希望大家能够喜欢!
三角函数图像与性质教案篇一
学校:沙雅县第二中学 年级:高中 电话:*** 内容:高中数学必修四第一章1.4三角函数的图像性质第一课时
1 三角函数的图像与性质
(一)
本节课教材是人教版必修四第四课(1.4)>,可将其划分为三小节来设计,即:>、>、>。
一、教学内容分析
本节课是学生学习了函数的定义、图象和性质,掌握了研究函数的一般思路,并对三角函数的基本知识比较熟悉的情况下,进一步利用函数图象来研究三角函数的有关性质,为学生以后利用数形结合的方式来解决有关三角函数方面的知识做铺垫,同时,可以对高中阶段系统研究指数函数、对数函数、导函数等做铺垫,进一步巩固和深化三角函数的概念和性质等知识,融会贯通前面所学的函数的基本性质,使学生得到较系统的掌握函数知识和研究函数的方法,掌握运用三角函数图像来解决有关问题。
二、教学目标分析
1、知识与技能:(1).能画出y=sin x, y=cos x的图像,了解三角函数的周期性;(2).借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2π](如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点及奇偶性等);
2、过程与方法:培养学生应用所学知识解决问题的能力,独立思考能力,规范解题的标准。
3、情感态度与价值观:培养学生全面的分析问题和认真的学习态度,渗透辩证唯物主义思想。
三、学情分析 教学背景
本课是高一年级必修四的一堂数学基础课程,本节课主要学习通过图像来研究三角函数的有关性质。在通过简谐运动的现象,得到正弦或余弦函数图像。在运用五点法作出它们的图像,让学生分小组讨论,总结和概括它们的性质,后期会用同样方法来研究正切图像和它的相关性质。
学生背景:
高一学生已具备一定的教学知识和学习能力,所教的班是重点班,对于知识的归纳总结也有一定的能力,对于新问题,有主动思考问题、探索问题的信习和勇气,因此,本课遵循“以教师为主导,学生为主体”,“数学教学是数学活动的教学”等教学思想,把提问题作为教学出发点,指导尝试,总结反思。
四、教学手段,教学方法
讲练结合,教师引入,提出问题,学生探究通过五点法做出正弦函数与余弦函数图像。并且能够运用图像变换,得到其他形式的函数图像。通过图像,总结概括出正弦函数、余
2 弦函数的性质,即周期性、奇偶性、单调性、最值。同时,学生在老师的引导下,探究利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质。
五、教学重难点分析
(一)教学重点
(1)学会运用五点法画出正弦函数、余弦函数图像。
(2)掌握正弦函数、余弦函数的相关性质,即(周期性、奇偶性、单调性、值域、最值等)。
(二)教学难点
(1)正弦函数,余弦函数的图像及性质应用方法和技巧。
(2)学会运用三角函数图像来正弦函数、余弦函数的有关性质,把数形结合的思想运用到问题求解上。
课时安排:(需上3课时)第一课时:正弦、余弦的图像 第二课时:正弦、余弦的图像和性质一 第三课时:正弦、余弦的图像和性质二 教学设计为第一课时
六、教学过程
一、复习引入:
1. 弧度定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
2.正、余弦函数定义:设是一个任意角,在的终边上任取(异于原点的)一点p(x,y)
p与原点的距离r(rxyx2y20)
r22p(x,y)yy则比值叫做的正弦 记作: sin
rr 比值xx叫做的余弦 记作: cos rr3.正弦线、余弦线:设任意角α的终边与单位圆相交于点p(x,y),过p作x轴的垂线,垂足为m,则有
sinyxmp,cosom rr向线段mp叫做角α的正弦线,有向线段om叫做角α的余弦线.
二、讲解新课:
1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象(几何法):为了作三角函数的图象,三角函数的自变量要用弧度制来度量,使自变量与函数值都为实数.在一般情况下,两个坐标轴上所取的单位长度应该相同,否则所作曲线的形状各不相同,从而影响初学者对曲线形状的正确认识.
(1)函数y=sinx的图象
第一步:在直角坐标系的x轴上任取一点o1,以o1为圆心作单位圆,从这个圆与x轴的交点a起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.(预备:取自变量x值—弧度制下角与实数的对应).第二步:在单位圆中画出对应于角0,6,,,„,2π的正弦线正弦线(等价于32“列表”).把角x的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合,则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点(等价于“描点”).第三步:连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来,就得到正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象.
根据终边相同的同名三角函数值相等,把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动,每次移动的距离为2π,就得到y=sinx,x∈r的图象.把角x(xr)的正弦线平行移动,使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合,则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象.(2)余弦函数y=cosx的图象
探究1:你能根据诱导公式,以正弦函数图象为基础,通过适当的图形变换得到余弦函数的图象?
根据诱导公式cosxsin(x2),可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移
单位即2得余弦函数y=cosx的图象.(课件第三页“平移曲线”)
-6-5-4-3-2-y1o-1y1-6-5-4-3-2--123456xy=sinx
4 y=cosx23456x正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线. 思考:在作正弦函数的图象时,应抓住哪些关键点? 2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法):
正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0)((3,-1)(2,0)2,1)(,0)2余弦函数y=cosx x[0,2]的五个点关键是哪几个?(0,1)((2,1)
3,0)(,-1)(,0)22只要这五个点描出后,图象的形状就基本确定了.因此在精确度不太高时,常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图,要求熟练掌握. 优点是方便,缺点是精确度不高,熟练后尚可以
3、讲解范例: 例1 作下列函数的简图
(1)y=1+sinx,x∈[0,2π],(2)y=-cosx ●探究2. 如何利用y=sinx,x∈〔0,2π〕的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到
(1)y=1+sinx ,x∈〔0,2π〕的图象;(2)y=sin(x-π/3)的图象?
小结:函数值加减,图像上下移动;自变量加减,图像左右移动。
● 探究3.
如何利用y=cos x,x∈〔0,2π〕的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到y=-cosx,x∈〔0,2π〕的图象? 小结:这两个图像关于x轴对称。●探究4.
如何利用y=cos x,x∈〔0,2π〕的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到y=2-cosx,x∈〔0,2π〕的图象? 小结:先作 y=cos x图象关于x轴对称的图形,得到 y=-cosx的图象,再将y=-cosx的图象向上平移2个单位,得到 y=2-cosx 的图象。
●探究5.
不用作图,你能判断函数y=sin(x3π/2)= sin[(x-3π/2)+2 π] =sin(x+π/2)=cosx
5 这两个函数相等,图象重合。
例2 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法,求满足下列条件的x的集合:
(1)sinx115;(2)cosx,(0x).2 2
2三、巩固与练习
数学必修四p34 练习
1、2
四、小 结:本节课学习了以下内容:
1.正弦、余弦曲线 几何画法和五点法 2.注意与诱导公式,三角函数线的知识的联系
五、作业:数学必修四p46页习题1.4a组
1、同步练习册当堂巩固1.2.3.4
七、教学设计反思
反思学习过程,对研究正弦函数,余弦函数的图像,性质,进行概括,深化认识。三角函数是一类特殊的周期函数,在研究三角函数时,既可以联系物理、生物、自然界中的周期现象,也可以从已学过的指数函数,对数函数、幂函数等得到启发,还要注意与锐角三角函数建立联系。
三角函数图像与性质教案篇二
《一次函数的图象与性质》教学设计
一、教学分析
(一)教学内容分析
本节课主要让学生掌握一次函数的图像的画法与性质,能否学好本节课是学好函数的关键所在.(二)教学对象分析
学生刚学习了正比例函数, 该内容对于刚学函数不久的八年级同学来说是个难点,因为本节内容相对比较抽象.(三)教学环境分析
我们处在农村学校,以往使用传统教学讲本节内容时(特别在讲性质时)学生总感到不易理解,因此我使用flash软件制作了flash动画课件,学生可在网络教室自己动手操作.二、教学目标
(一)知识与技能
⒈知道一次函数的图象是一条直线;
⒉会选取两个适当点画一次函数(含正比例函数)的图象; ⒊能结合图象理解一次函数(含正比例函数)的性质.(二)过程与方法
⒈通过画函数的图象,培养学生的动手能力;
⒉通过结合函数图象揭示性质的教学,培养学生观察、比较、抽象和概括能力.(三)情感态度与价值观
经历对一次函数图象的观察、分析及对性质的探索活动,激发学生主动学习的欲望,培养学生的探究精神.三、教学重点难点
(一)教学重点
一次函数(含正比例函数)图象的画法及性质.(二)教学难点
1.选取适当两点画一次函数y=kx+b的图象;
2.结合一次函数(含正比例函数)图象说出它们的性质.
四、教学手段
用多媒体辅助教学,数形结合,直观生动地揭示函数性质,以突破难点,突出重点,同时可以增大教学容量,提高课堂教学效率.五、教学过程
(一)导学过程
什么叫一次函数?什么叫正比例函数?它们有何关系? 上节课老师布置的导学内容.(二)引入
已知函数的解析式,我们可以画出函数的图象,那么一次函数(包括正比例函数)的图象是什么形状呢?它们又有什么性质呢?
(三)新课
整合点:在电脑教室给学生分发”一次函数图像与性质学生版”flash课件,让学生打开”函数图像的画法”.这是教学重点,做了整合.⒈一次函数图象的形状
(1)电脑flash动画显示:函数y=0.5x,y=2x+1的图象.(2)问:这几个函数分别是什么函数?它们的图象分别是什么图形?(3)观察、讨论与归纳:所有一次函数的图象都是一条直线.⒉一次函数的图象的画法
(1)问:我们知道一次函数的图象是一条直线,那么今后我们画一次函数的图象是否还是通过描出许多点再连线呢?有没有简捷的方法呢?
(2)讨论:两点确定一条直线,画一次函数的图象只需描出两点,再过这两点作直线.(3)结论:一次函数图象的画法──“两点法”.⒊取两适当点画正比例函数的图象
(1)问题:取怎样的两点画函数y=0.5x,y=-0.5x的图象合适呢?
让学生在flash课件中自己动手选择数据来体会如何选合适的点画图像.(2)讨论:计算简便,描点方便.(3)画图:师生分别画图.(4)小结:画正比例函数的图象时,常选取(0,0)、(1,k)两点连线.正比例函数的图象必过原点.⒋取两适当点画一次函数的图象
(1)问题:怎样取合适的两点画一次函数y=kx+b 的图象呢?
(2)自学:学生自学例题1;
(电脑动画显示函数图象的作图过程)(3)思考与讨论
① 横坐标为0点在---上,纵坐标为0点在---上.② 在y=kx+b中,当x=0时,y=---;当y=0时,x=---.③ 画一次函数的图象,常选取(0,--)、(--,0)两点连线.(4)小结
画一次函数y=kx+b图象的一般步骤:
① 在横轴上取点(-b/k,0),在纵轴上取点(0,b); ② 过这两点作直线;
整合点:在此处重点整合了”一次函数的性质”,把它做成可手动操作的课件,把这节课的难点进行化解,使学生能够更好的理解其性质特点.⒌正比例函数的性质
(1)问题:正比例函数有着特殊形状,那么它有什么性质呢?
(2)观察、思考与讨论:在坐标平面内,对于直线y=0.5x与y=-0.5x,点的横坐标增大时,纵坐标怎样变化?(引导学生分别从列表、图象上点的升降分析)
(3)归纳:引导学生归纳正比例函数的性质.⒍一次函数的性质
(1)思考:一次函数y=kx+b又有什么性质呢?
(2)类比与归纳:引导学生用总结y=kx的性质的方法,总结一次函数y=kx+b 的性质.五、练习巩固
整合点:让学生自己打开”一次函数图像与性质学生版”flash课件解决上面的问题.六、课堂 小结及自我评测
(一)引导学生对一次函数和正比例函数小结:
1.定义;
2.图象(形状、画法);
3.性质.(二)自我评测、整合点
七、布置作业
(一)阅读课本p107--p109
(二)必作题:p109,p111
(三)发放下节导学内容(导学内容以纸质形式发放)附:
教学反思
函数的教学体现的是一个变化的过程,而学生还不具备这样的抽象思维能力,学起来很困难.本节课充分利用flash动画的强大操作功能和演示功能,直观的展示了数与型的变化过程,不仅降低了知识的难度,还满足了学生的好奇心理,激励学生积极参与知识的形成过程,加深对知识的理解和运用,使学生乐于
接受,实现教学过程的最优化,水到渠成,突破教学难点,解决了我以往传统教学中学生对理解函数的性质比较抽象问题.运用多媒体教学,为师生的交流提供共同经验,使学生展开认识、分析、综合、想象、表达能力、学习活动,变强迫性教学为诱导思维式教学,极力诱发学生的创新思维.使学生学起来不会感觉特别抽象.而且激发了学生的学习兴趣.为学生创设符合其心理特点的教学情境,不断地给学生以新的刺激,使学生的大脑始终保持兴奋状态,激发了学生强烈的学习欲望,增强了学习兴趣.他们会克服一切困难,充满信心的学习数学,学好数学,变“要我学”为“我要学”.多媒体教学的整合,我感到是教育教学的一次重大革命,是教育教学改革的一个重要里程碑,而我们这一代教师正是这一次教育革命的开创者和推进者.
三角函数图像与性质教案篇三
三角函数的图象与性质
教学目标
1.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质,并能用它研究复合函数的性质.
2.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、3.理解图象平移变换、伸缩变换的意义,并会用这两种变换研究函数图象的变化.
重点难点
重点是通过复习,能运用四种三角函数的性质研究复合三角函数的性质及图象的特点,特别是三角函数的周期性,是需要重点明确的问题.
难点是,在研究复合函数性质时,有些需要先进行三角变换,把问题转化到四种三角函数上,才能进行研究,这就增加了问题的综合性和难度.
教学过程
三角函数的图象与性质是三角函数的核心问题,要熟练、准确地掌握.特别是三角函数的周期性,反映了三角函数的特点,在复习“三角函数的性质与图象”时,要牢牢抓住“三角函数周期性”这一内容,认真体会周期性在三角函数所有性质中的地位和作用.这样才能把性质理解透彻.
一、三角函数性质的分析 1.三角函数的定义域
这两种表示法都需要掌握.即角x不能取终边在y轴上的角.
函数y=cotx的定义域是x≠π或(kπ,kπ+π)(k∈z),这两种表示法都需要掌握.即角x不能取终边在x轴上的角.
(2)函数y=secx、y=cscx的定义域分别与y=tanx、y=cotx相同. 例
1求下列函数的定义域:
π](k∈z).
形使函数定义域扩大.的某些区间与-3≤x≤3的交集不空,这些区间可以通过k取特殊值得到.注意不要遗漏.
(3)满足下列条件的x的结果,要熟记(用图形更便于记住它的结果).
是
[
]
所以选c. 2.三角函数的值域
(1)由|sinx|≤
1、|cosx|≤1得函数y=cscx、y=secx的值域是|cscx|≥
1、|secx|≥1.
(2)复合三角函数的值域问题较复杂,除了代数求值域的方法都可以适用外,还要注意三角函数本身的特点,特别是经常需要先进行三角变换再求值域. 常用的一些函数的值域要熟记.
③y=tanx+cotx∈(-∞,-2]∪[2,+∞). 例
4求下列函数的值域:
(2)y=3cos2x+4sinx ①x∈r;
④x是三有形的一个内角.(3)y=cosx(sinx+cosx);
(5)y=sin(20°-x)+cos(50°+x).
若把上式中的sinx换成cosx,解法、答案均与上面相同.
sinx=0时,ymax=3,所以y∈[-4,3];
(5)解法一
将cos(50°+x)变为sin(40°-x),和差化积得 y=2sin(30°-x)·cos10°∈[-2cos10°,2cos10°].
解法二
用正弦、余弦的两角和与差的公式展开,得 y=(sin20°cosx-cos20°sinx)+(cos50°cosx-sin50°sinx)=(sin20°+cos50°)cosx-(cos20°+sin50°)sinx =(sin20°+sin40°)cosx-(sin70°+sin50°)sinx =2sin30°·cos10°·cosx-2sin60°·cos10°·sinx
=2cos10°·sin(30°-x)∈[-2cos10°,2cos10°].
评述
以上是求三角函数值域的几种基本情况,它们的共同点在于,经过三角变换,都要转化为四种基本三角函数的值域.
求tanβ的最大值.
解
α为锐角,tanα>0,所以
3.三角函数的周期性
(1)对周期函数的定义,要抓住两个要点:
①周期性是函数的整体性质,因此f(x+t)=f(x)必须对定义域中任一个x成立时,非零常数t才是f(x)的周期.
②周期是使函数值重复出现的自变量x的增加值. 因为sin(2kπ+x)=sinx对定义域中任一个x成立,所以2kπ(k∈z,k≠0)是y=sinx的周期,最小正周期是2π.
同理2kπ(k∈z,k≠0)是y=cosx的周期,最小正周期是2π.
因为tan(kπ+x)=tanx对定义域中任一个x成立,所以kπ(k∈z,k≠0)是y=tanx的周期,最小正周期是π.
同理kπ(k∈z,k≠0)是y=cotx的周期,最小正周期是π.
(3)三角函数的周期性在三角函数性质中的作用
①函数的递增或递减区间周期性的出现,每一个三角函数,都有无数个递增或递减区间,这些递增区间互不连接,递减区间也互不连接.
②函数的最大、最小值点或使函数无意义的点周期性变化.
③因为三角函数是周期函数,所以画三角函数图象时,只须画一个周期的图象即可.
例6 求下列函数的周期:
上式对定义域中任一个x成立,所以t=π;
4.三角函数的奇偶性,单调性
研究函数的单调性,关键是求函数的单调区间.
[
]
a.②
b.①②
c.②③
d.①②③
原点不对称,所以函数①既非奇函数又非偶函数;②因为f(-x)=-f(x),所
但是周期函数,t=2π.因此选c.
评述
在判定函数是奇函数或是偶函数时,一定要注意函数的定义域,一个函数是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称.因此对①,不能根据f(-x)+f(x)=0就判定①为奇函数.
原来的函数既不是奇函数,也不是偶函数.因此在研究函数性质时,若将函数变形,必须保持变形后的函数与原来的函数是同一个函数,例8
给出4个式子:①sin2>cos2>tan2;②sin2>sin3>sin4;③tan1>sin1>cos1;④cos1>cos2>cos3.正确的序号是______.
而(0,π)是y=cosx的递减区间,所以④正确.
例9
函数y=-cosx-sin2x在[-π,π)的递增区间是______.
评述
研究函数的性质首先要注意函数的定义域.
[
] a.是增函数
b.是减函数
c.可以取得最大值m
d.可以取得最小值-m
5.三角函数的图象
(1)画三角函数的图象应先求函数的周期,然后用五点法画出函数一个周期的图象.
(2)函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx
图象的对称中心分别为
∈z)的直线.
例1
2画出下列函数在一个周期的图象:
解(1)t=π.
如图10.
(2)t=2π.如图11.
[
]
最大或最小值的即是,所以选a.
(4)三角函数图象的平移变换,伸缩变换.
一个周期的图象,则图象的解析式为______.
还可以这样研究:
二、综合题分析
例17
方程sinx=log20x根的个数是______.
分析
在同一坐标系中作出y=sinx、y=log20x的图象.
(2π,4π),(4π,6π)中,两图象分别有1个、2个、2个交点,因此方程根的个数为5个.
例18
已知函数y=sinx·cosx
+sinx+cosx,求y的最大、最小值及取得最大、最小值时的x值.
解
令sinx+cosx=t.
(k∈z)时,ymin=-1;
求:(1)函数的取值范围;
(2)函数的递减区间. 解
sin3x·sin3x+cos3x·cos3x
实数.
π](k∈z).的最小正周期.
有一动点p,过p引平行于ob的直线交oa于q,求△poq面积的最大值及此时p点的位置.
解
如图13.
设∠pob=θ∈(0°,120°),则∠qpo=θ.
能力训练
2.设θ是第二象限角,则必有
[
]
[
]
a.y=tanx
b.y=cos2x
4.函数f(cosc)=cos2c-3cosc,则f(sinc)的值域是
[
]
5.(1)函数y=cos(tanx)的定义域是______,值域是______;
(7)设a=tan48°+cot48°,b=sin48°+cos48°,c=tan48°+cos48°,d=cot48°+sin48°.将a,b,c,d从小到大排列的结果是______.
6.将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标扩大两倍,纵坐标不变,然的图象完全相同,则函数y=f(x)的表达式是______.
7.(1)已知sinα+sinβ=1,则cosα+cosβ的取值范围是______;(2)已知3sin2α+2sin2β=2sinα,则sin2α+sin2β的取值范围是______. 8.求下列函数的周期:(1)y=cot2x-cotx;
(3)y=cos3x·cos3x-sin3x·sin3x.
9.求函数y=sin4x+cos4x-2cos2x的周期、最大值和最小值.
11.设f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ),求使f(x)为偶函数的充分必要条件.
数a的取值范围.
实数m的取值范围.
答案提示
1.b
2.c
3.d
4.b
(3)奇函数,r
(7)d-b=cot48°-cos48°=tan42°-sin42°>0,所以d>b;c-
7.(1)设cosα+cosβ=x,则(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2=2+2cos(α
3]
11.sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x-θ)=sin(x+θ)+sin(x-θ)
-2sinx·sinθ=2sinx·cosθ
cos(x+θ)-cos(x-θ)-sinθ=cosθ
14.设sinθ=t∈[0,1],题目变成t2-2mt+2m+1>0对t∈[0,1]
设计说明
三角函数的每一条性质都要求记忆和理解,每一个函数的图象也要求熟练掌握,因此在复习时,首先以一些小题为主,使学生把每一条性质都弄清楚.由于在研究性质时必然要涉及三角变换,而这一点对学生来说是难点,所以在复习时不要由于三角变换削弱了性质的复习.
在复习这部分内容时,应抓住核心的两点:三角函数的图象和三角函数的周期性.
三角函数图像与性质教案篇四
三角函数图像与性质复习教案目标:1、掌握五点画图法,会画正余弦、正切函数图象以及相关的三角函数图象及性质2、深刻理解函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性。重点:五点作图法画正余弦函数图象。难点:一般函数y的图象
及正余弦函数的性质,及一般函数y。
asin(x)
asin(x)的图象与性质。【教案内容】1、引入:有个从未管过自己孩子的统计学家,在一个星期六下午妻子要外出买东西时,勉强答应照看一下4个年幼好动的孩子。当妻子回家时,他交给妻子一张纸条,上写:系鞋带15次;给每个孩子吹玩具气球各要横穿马路26次;孩子坚持要穿过马路
5次,每个气球的平均寿命26次;我还想再过这样的星期六
“擦眼泪11次;10秒钟;警告孩子不
0次。”2、三角函数知识体系及回忆正余弦函数的概念和周期函数:正弦函数:余弦函数:周期函数:注意:最小正周期:一般函数y及频率:
asin(x,相位:)中:a表示。,表示正切函数:3、三角函数的图象:
0 / 5 值域:当x
2且x
2tanx时,;当x
且x
tanx时,.单调性:对每一个
k
z,在开区间(kk2,k
2)内,函数单调递增.对称性:对称中心:五点作图法的步骤:
(,0)(kz),无对称轴。(由诱导公式画出余弦函数的图象)【例题讲解】
1 / 5 例1 画出下列函数的简图(1)y(3)y1sinxx[0,22sinxx
[0,2]
](2)ycosxx
[0,2]例2(1)方程lgxsinx解得个数为(a.0(2)x
b.1
c.2)d.3 [,32
]解不等式sinx)
3(x[
3,43
]))例3已知函数f(x)cos(2x(ⅰ)求函数(ⅱ)求函数
2sin(x
4)sin(x
4f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;f(x)在区间[,]上的值域。),x
r(其中a
122例4已知函数f(x)且图象上一个最低点为
asin(xm(23
0,0,0
2)的周期为,,2).(ⅰ)求f(x)的解读式;(ⅱ)当x[0,12
],求f(x)的最值.例5写出下列函数的单调区间及在此区间的增减性:(1)y
tan(x
16);(2)ytan(4
2x).【过手练习】1、函数y
sin(2x
3)图像的对称轴方程可能是a.xd.x2、已知函数
612y
2sin(x
b.x
2c.x
6)(0)在区间[0,2π]的图像
13如下,那么ω=a.1 3、函数f(x)
b.2
cos2x
c.1/2 d.2sinx的最小值和最大值分别为
2 / 5 a.-3,1 b.-2,2 c.-3,32d.-2,324、函数y=
2cosx
2定义域是____________________.2sinx
1sin(2x
3)的单调递增区间是_____________________ 5、函数yycos2x的单调递增区间是_____________________________ 6、使函数
ytanx和ysinx同时为单调递增函数的区间是.【拓展训练】1、已知函数(ⅰ)求
f(x)的值;
sin
2x3sinxsinx
π
2(0)的最小正周期为.π(ⅱ)求函数
f(x)在区间
6cosx
42π
上的取值范围.0,35cosx
22、已知函数值域.
f(x)=
1cos2x,求f(x)的定义域,判断它的奇偶性,并求其3、求证:(1)
ysinxcosx的周期为
x
462x8
.补充:设函数
f(x)sin()2cos
21.(ⅰ)求f(x)的最小正周期.(ⅱ)若函数
yg(x)与yf(x)的图像关于直线
x1对称,求当
x[0,4
3]时yg(x)的最大值.【课后作业】1、在[0,2]上,满足sinxa.[0,2、12]c.[的x的取值范围是(,23]d.[
56,])6
]
b.[
6,56
.个单位后,得到yg(x)的图象,则g(x)的解读式()
3 / 5 3、函数ysinx
4cosx的周期是_____________。函数y|sinx|的周期是_________.,x
r,则fx是
(b)(d)
最小正周期为最小正周期为a.π
4的偶函数
44、设函数(a)(c)
fxsin2x
2最小正周期为最小正周期为
42的奇函数的奇函数
b.的偶函数
c.d.5、函数y=sinx+cosx的最小正周期为:
π
226、sinx的根的个数为___________.7、求函数
y
1tanx
1的定义域是.8、yx
21sinx的定义域是_____________ 9、由sin(可得
2x)cosx可知,把函数ysinx的图象经过____________________(变换)
4x,求f(1)
f(2)+……
f(2010).比尔盖茨:伟大,在于细节的积累!10、若f(x)
成功=99%的汗水+1%的灵感
亲!加油!
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三角函数图像与性质教案篇五
反比例函数的图象和性质
教学目标
1.知识与技能
会画反比例函数的图象,并知道该图象与正比例函数、一次函数图象的区别,能从反比例函数的图象上分析出简单的性质.能用反比例函数的定义和性质解决实际问题.
2.过程与方法
通过画图象,进一步培养“描点法”画图的能力和方法,并提高对函数图象的分析能力.同时尝试用类比和特殊到一般的思路方法,归纳反比例函数一些性质特征.
3.情感、态度与价值观
由图象的画法和分析,体验数学活动中的探索性和创造性,感受数学美,并通过图象的直观教学激发学习兴趣.
教学重点难点
重点:反比例函数图象的画法及探究,反比例函数的性质的运用.
难点:反比例函数图象是平滑双曲线的理解及对图象特征的分析.
(一)创设情境,导入新课
问题:1.若y=≠-1 .
2.用描点法画图象的步骤简单地说是 列表、描点、连线 .
3.试用描点法画出下列函数的图象:(1)y=2x;(2)y=1-2x.
(二)合作交流,解读探究 (2n1)(n1)x是反比例函数,则n必须满足条件 n≠
12或n
问题:我们已知道,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,•那么反比例函数ykx(k为常数且k≠0)的图象是什么样呢?
尝试 用描点法来画出反比例函数的图象.
画出反比例函数y=
解:列表
6x和y=-
6x的图象.
(请把表中空白处填好)
描点,以表中各对应值为坐标,在直角坐标系中描出各点.
连线,用平滑的曲线把所描的点依次连接起来.
探究 反比例函数y=和y= −
x66x的图象有什么共同特征?它们之间有什么关系?
做一做 把y=和y= −x66x的图象放到同一坐标系中,观察一下,看它们是否对称.
归纳 反比例函数y=和y= −
x66x的图象的共同特征:
(1)它们都由两条曲线组成.
(2)随着x的不断增大(或减小),曲线越来越接近坐标轴(x轴、y轴).
(3)反比例函数的图象属于双曲线(hyperbola).
此外,y=6x的图象和y= −
6x的图象关于x轴对称,也关于y轴对称.
做一做 在平面直角坐标系中画出反比例函数y=和y= −
x33x的图象.
交流 两个函数图象都用描点法画出?
【分析】 由y=
6x和y= −
6x的图象及y=
3x和y= −
3x的图象知道,(1)它们有什么共同特征和不同点?
(2)每个函数的图象分别位于哪几个象限?
(3)在每一个象限内,y随x的变化而如何变化?
猜想 反比例函数ykx(k≠0)的图象在哪些象限由什么因素决定?在每一个象限内,y随x的变化情况如何?它可能与坐标轴相交吗?
【归纳】(1)反比例函数ykx(k为常数,k≠0)的图象是双曲线.
(2)当k>0时,双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每个象限内,y•值随x值的增大而减小.
(3)当k
二、第四象限,在每个象限内,y•值随x值的增大而增大.
(三)应用迁移,巩固提高
例题 指出当k>0时,下列图象中哪些可能是y=kx与y坐标系中的图象()
kx(k≠0)在同一
【分析】 对于y=kx来说,当k>0时,图象经过
一、三象限,当k
二、四象限;对于ykx来说,当k>0时,图象在一、三象限,当k
二、四象限,所以应选b.
【答案】 b
(四)总结反思,拓展升华
1.画反比例函数的图象.
2.反比例函数的性质.
3.反比例函数的图象在哪个象限由k决定,且y值随x值变化只能在“每一个象限内”研究.
4.在ykx(k≠0)中,由于x≠0,同时y≠0,因此双曲线两个分支不可能到达坐标轴.
反比例函数的性质及运用
(1)k的符号决定图象所在象限.
(2)在每一象限内,y随x的变化情况,在不同象限,不能运用此性质.
(3)从反比例函数ykx的图象上任一点向一坐标轴作垂线,这一点和垂
12足及坐标原点所构成的三角形面积s△=│k│.
(4)性质与图象在涉及点的坐标,确定解析式方面的运用.
三角函数图像与性质教案篇六
教学设计说明
本节内容是人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册“14.2.2一次函数”(第二课时)
一、本课数学内容的本质、地位和作用分析
本课数学内容的本质是通过研究具体一次函数的图象特征和函数性质,抽象得到一般的一次函数的图象特征和函数性质,在这个过程中使学生认识到由具体到一般的研究问题的方法.同时在学生了解了正比例函数ykx的图象和性质的基础上,通过比较一次函数ykxb与正比例函数ykx解析式上的区别,得到一次函数图象与正比例函数图象之间的关系,进而得到一次函数的图象和性质,也使学生体会到当两个函数有密切联系时,可以通过类比以前研究函数的方法来研究新的函数.在“观察图象——分析解析式——归纳结论”的过程中,培养学生的数形结合的能力.
一次函数是中学阶段接触到的最简单、最基本的函数,它在实际生活中有着广泛的应用.一次函数的学习是建立在学习了平面直角坐标系、变量与函数和正比例函数及其图象与性质的基础上的.一次函数的第一课时主要内容是一次函数的有关概念,本节课是一次函数的第二课时,主要研究一次函数图象的形状、画法,并结合图象分析一次函数的性质.它既是正比例函数的图象和性质的拓展,又是继续学习“用函数观点看方程(组)与不等式”的基础.
从数学自身发展过程来看,正是由于变量与函数概念的引入,标志着初等数学向高等数学的迈进,是一种数学思想与观念的融入.无论从一次函数到反比例函数,再到以后的二次函数,甚至高中的其他各类函数,都是函数的某种具体形式,都为进一步深刻领会函数提供了一个平台.因此,后续学习中对反比例函数、二次函数的研究方法与一次函数的研究方法类似.也就是说,一次函数的学习为今后其他函数的学习提供了一种研究的模式.
二、教学目标分析
(一)教学目标))1.使学生理解函数ykxb(k0与函数ykx(k0图象之间的关系,会利用两个合适的点画出一次函数的图象,掌握k的正负对图象变化趋势和函数性质的影响.
2.通过描点法来研究一次函数图象,在动手绘制一次函数的图象的过程中,让学生经历“动手----比较----讨论---归纳”的数学活动,通过对一次函数图象的分析,归纳k的正负对函数图象变化趋势和函数性质的影响,让学生经历知识的探究、归纳的过程,体会数形结合思想方法和分类讨论思想方法的应用,同时培养学生的观察能力和抽象概括能力.
3.通过从具体一次函数的图象特征抽象得到一般形式一次函数的图象特征,进而得到函数的性质,使学生经历从特殊到一般的研究问题的过程,体会从特殊到一般的研究问题的方法.
4.在探究一次函数的图象和性质的活动中,通过动手实践,互相交流,使学生在探究的过程中,提高与他人交流合作的意识,提高学生的动手实践的能力和探究精神.
三、教学问题诊断分析
本节课主要是研究一次函数的图象和性质,在此之前学习者已经学习了正比例函数的图象和性质,一次函数的定义.由于授课班级为我校普通班级,学生虽然已经经历了研究正比例函数的图象和性质的过程,但是对于函数的理解还是比较浅显,将函数解析式与函数图象结合起来解决问题的能力较弱,故本节课的教学难点为通过对解析式的比较分析理解一次函数的图象和性质,并能灵活应用.
在本节课的学习中,学生对于通过具体函数图象猜想一次函数图象的形状和k的正负对于函数图象的变化趋势和函数性质的影响并不困难,但是学生容易停留在只从“形”的角度认识一次函数的图象和性质,不会用函数和变量去思考问题,即从“数”——解析式的角度加深理解.所以,我们在进行教学时,有意识地加强对一次函数ykxb与正比例函数ykx解析式的分析与比较,突出数学知识所蕴涵的数学思想和数学方法,以此加深学生对数形结合思想的体会,使学生逐步地增强应用数形结合思想解决问题的意识和能力.
四、本节课的教法特点及预期效果分析
1.由于本课的教学内容是在学生以往学习了正比例函数的图象和性质以及一次函数的定义的基础上进行的,学生在学习一次函数定义时对于课后的一个实际问题的练习掌握情况不好,因此这节课从这个问题复习开始,起到承接以前学习过内容的目的,同时对这个问题稍作改动,吸引学生的注意力,再引出本课的内容,让学生在复习的过程中感受用函数模型描述实际问题的作用.
2.根据本节课的教材内容特点,为了更直观、形象地突出重点、突破难点,提高课堂效率,采用以实践探索为主、多媒体演示为辅的教学组织形式.在教学过程中,通过设置带有探究性的问题,创设问题情境,引导学生动手实践探索,发现归纳结论.利用计算机的《几何画板》软件增强数与形结合的直观性,并通过学生亲自动手绘制函数图象,让学生亲身体验知识的产生、发展和形成的过程.
3.八年级的学生好奇、好学、好动,所以在教学过程中通过让学生自己动手画图,同学之间交流画法,谈谈想法等活动,充分发挥学生的主体性,进一步激发学生的求知欲,课件中的动画过程使数与形的关系可视化,有利于学生对问题的感知。
4.在由具体函数y2x1与函数y2x的图象关系抽象得到一般一次函数ykxb与直线ykx之间的关系的过程中,我们将抽象的过程分成两步完成,第一步先由函数y2x抽象到正比例函数ykx,函数y2x1抽象到一次函数ykx1,第二步由一次函数ykx1抽象到函数ykxb,同时利用《几何画板》直观演示,有利于学生从具体向一般过渡.
5.在小结的设计上给学生一个充分从事数学活动的机会,也体现了学生是数学学习的主人的理念.学生所发表的见解不一定全都是本节课的重点,只要是学生的观点正确又的确是他的知识收获则教师就给与认可和鼓励.
6.在作业的布置上,通过阅读作业培养学生的数学阅读能力,同时养成学生及时复习、梳理知识的良好学习习惯,通过巩固性作业使学生巩固落实课堂所学的知识,通过探究作业为下节课学习利用待定系数法求一次函数解析式作铺垫,起到与下节课衔接的作用.
以上是我对这节课的教学设计的说明,不妥之处恳请各位专家批评指正。